Na ile sposobów można ustawić 8 osób, tak aby:
a)osoby A i B stały obok siebie oraz aby pomiędzy tą parą osób a osobą C stały 2 inne osoby
b)osoba A stała pierwsza w szeregu, w dalszej części szeregu osoba B stała bliżej A niż osoba C?
ad. a)
\(\displaystyle{ \Rightarrow 2*2*5*4*4!= 80*24=1920}\)
Zgadza się z odpowiedzią w zbiorze, ale nie jestem pewien czy mogę to tak zrobić.
Liczyłem to tak, że na miejscu 1 i 2 stoją odp. osoby A,B lub B,A(2*2) później na dwóch kolejnych miejscach 2 osoby różne od C, czyli (5*4) następnie osoba C i na końcu pozostałe 4 osoby czyli 4! .
ad. b)
Natomiast przypadek drugi rozwiązałem również poprawnie (wg.odp w ksiazce), ale jest to sposób wydaje mi się długi. Zrobiłem to tak :
Skoro A stoi zawsze na 1 miejscu to przyjąłem, że mogę rozważyć przypadek, w którym C stoi po prostu dalej niż B.
I obliczyłem możliwości dla B które stoi na 2 miejscu, 3, 4,5 itd.
I otrzymałem :
\(\displaystyle{ 6! + 5*5! + 20*4! + 60*3! + 120*2! + 5! = 2520}\)
Zauważyłem, że :
\(\displaystyle{ 6! + 5*5! + 4*5! + 3*5! + 2*5! + 5! = 2520}\)
To to samo i w prostszej postaci, ale nie potrafię zrozumieć skąd to się wzieło. Ma ktoś inne pomysły na rozwiązanie tego zad. ?
Na ile sposobów można ustawić 8 osób, tak aby: ...
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Na ile sposobów można ustawić 8 osób, tak aby: ...
Ad 1
Miejsce dla \(\displaystyle{ C}\) wybieramy na \(\displaystyle{ 8}\) sposobów. Zauważmy, że wtedy para miejsc dla \(\displaystyle{ \{ A,B\}}\) jest jednoznacznie zdeterminowana (np. jeśli \(\displaystyle{ C}\) na drugim, to oni na piątym i szóstym; jeśli \(\displaystyle{ C}\) na piątym, to oni na pierwszym i drugim itd.). Zatem wystarczy na \(\displaystyle{ 2!}\) sposobów umieścić tę dwójkę na tych dwóch miejscach, a pozostałym pięciu osobom przyporządkować resztę miejsc na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów.
Ostatecznie więc odpowiedź to: \(\displaystyle{ 8 \cdot 2! \cdot 5!}\)
Ad 2
Ustawień w których \(\displaystyle{ A}\) jest pierwszy jest \(\displaystyle{ 7!}\). Wśród nich są takie, w których \(\displaystyle{ B}\) ma wcześniejsze miejsce niż \(\displaystyle{ C}\) oraz takie, w których \(\displaystyle{ C}\) ma wcześniejsze miejsce niż \(\displaystyle{ B}\). Zauważmy, że ze względu na symetrię, jednych i drugich musi być tyle samo. Zatem jednych i drugich jest po \(\displaystyle{ \frac{7!}{2}}\).
Q.
Miejsce dla \(\displaystyle{ C}\) wybieramy na \(\displaystyle{ 8}\) sposobów. Zauważmy, że wtedy para miejsc dla \(\displaystyle{ \{ A,B\}}\) jest jednoznacznie zdeterminowana (np. jeśli \(\displaystyle{ C}\) na drugim, to oni na piątym i szóstym; jeśli \(\displaystyle{ C}\) na piątym, to oni na pierwszym i drugim itd.). Zatem wystarczy na \(\displaystyle{ 2!}\) sposobów umieścić tę dwójkę na tych dwóch miejscach, a pozostałym pięciu osobom przyporządkować resztę miejsc na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów.
Ostatecznie więc odpowiedź to: \(\displaystyle{ 8 \cdot 2! \cdot 5!}\)
Ad 2
Ustawień w których \(\displaystyle{ A}\) jest pierwszy jest \(\displaystyle{ 7!}\). Wśród nich są takie, w których \(\displaystyle{ B}\) ma wcześniejsze miejsce niż \(\displaystyle{ C}\) oraz takie, w których \(\displaystyle{ C}\) ma wcześniejsze miejsce niż \(\displaystyle{ B}\). Zauważmy, że ze względu na symetrię, jednych i drugich musi być tyle samo. Zatem jednych i drugich jest po \(\displaystyle{ \frac{7!}{2}}\).
Q.