Losy w dwóch pojemnikach
Losy w dwóch pojemnikach
W loterii zgromadzono losy w dwóch pojemnikach. W pierwszym było a losów wygrywających i b pustych, natomiast w drugim b wygrywających i a pustych. Losowo wybrany z pierwszego pojemnika los włożono do drugiego pojemnika, a następnie z drugiego pojemnika wylosowano jeden los. Oblicz prawdopodobieństwo, że drugi wylosowany los jest wygrywający.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Losy w dwóch pojemnikach
Określmy zdarzenia:
\(\displaystyle{ B}\) - drugi los wygrywający
\(\displaystyle{ A_1}\) - pierwszy los wygrywający
\(\displaystyle{ A_2}\) - pierwszy los przegrywający.
Oczywiście jest:
\(\displaystyle{ P(B) = P(A_1)\cdot P(B |A_1) +P(A_2)\cdot P(B |A_2)}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ P(A_1)=\frac{a}{a+b} \\
P(A_2) = \frac{b}{a+b} \\
P(B|A_1) =\frac{b+1}{a+b+1} \\
P(B|A_2) =\frac{b}{a+b+1}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{a}{a+b} \cdot \frac{b+1}{a+b+1} + \frac{b}{a+b}\cdot \frac{b}{a+b+1}=
\frac{ab+a+b^2}{(a+b)(a+b+1)}}\)
Q.
\(\displaystyle{ B}\) - drugi los wygrywający
\(\displaystyle{ A_1}\) - pierwszy los wygrywający
\(\displaystyle{ A_2}\) - pierwszy los przegrywający.
Oczywiście jest:
\(\displaystyle{ P(B) = P(A_1)\cdot P(B |A_1) +P(A_2)\cdot P(B |A_2)}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ P(A_1)=\frac{a}{a+b} \\
P(A_2) = \frac{b}{a+b} \\
P(B|A_1) =\frac{b+1}{a+b+1} \\
P(B|A_2) =\frac{b}{a+b+1}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{a}{a+b} \cdot \frac{b+1}{a+b+1} + \frac{b}{a+b}\cdot \frac{b}{a+b+1}=
\frac{ab+a+b^2}{(a+b)(a+b+1)}}\)
Q.