Z cyfr 1...7 układamy liczbę, w której...

ghostko · Post autor: **ghostko** » 23 wrz 2009, o 20:58

Z cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8 tworzymy liczby szesciocyfrowe. Ile mozna utworzyc takich liczb, w ktorych cyfra 1 wystepuje conajmniej trzy razy a pozostale cyfry są rozne miedzy sobą ?

Mi wychodzi 64 a wynik to 7638 :/
pomoze ktos ?

Goter · Post autor: **Goter** » 23 wrz 2009, o 21:17

Jedynka musi wystąpić co najmniej 3 razy, więc rozpatrzmy wszystkie przypadki:
1) jedynka wystąpi dokładnie 3 razy, wtedy wybieramy miejsca dla jedynek, w pozostałe wpisujemy dowolne cyfry od 2 do 8: \(\displaystyle{ {6 \choose 3} \cdot 7^3 = 20 \cdot 343 = 6860}\)
2) jedynka wystąpi dokładnie 4 razy: \(\displaystyle{ {6 \choose 4} \cdot 7^2 = 15 \cdot 49 = 735}\)
3) jedynka wystąpi dokładnie 5 razy: \(\displaystyle{ {6 \choose 5} \cdot 7^1 = 6 \cdot 7 = 42}\)
4) jedynka wystąpi dokładnie 6 razy: \(\displaystyle{ {6 \choose 6} \cdot 7^0 = 1 \cdot 1 = 1}\)

\(\displaystyle{ 6860+735+42+1=7638}\)

ghostko · Post autor: **ghostko** » 23 wrz 2009, o 21:22

Goter pisze:Jedynka musi wystąpić co najmniej 3 razy, więc rozpatrzmy wszystkie przypadki:
1) jedynka wystąpi dokładnie 3 razy, wtedy wybieramy miejsca dla jedynek, w pozostałe wpisujemy dowolne cyfry od 2 do 8: \(\displaystyle{ {6 \choose 3} \cdot 7^3 = 20 \cdot 343 = 6860}\)
2) jedynka wystąpi dokładnie 4 razy: \(\displaystyle{ {6 \choose 4} \cdot 7^2 = 15 \cdot 49 = 735}\)
3) jedynka wystąpi dokładnie 5 razy: \(\displaystyle{ {6 \choose 5} \cdot 7^1 = 6 \cdot 7 = 42}\)
4) jedynka wystąpi dokładnie 6 razy: \(\displaystyle{ {6 \choose 6} \cdot 7^0 = 1 \cdot 1 = 1}\)

\(\displaystyle{ 6860+735+42+1=7638}\)

przepraszam ale nie wiem czemu zapisałeś tak \(\displaystyle{ {6 \choose 3}}\) ?
Chodzi mi o to, że skoro jest liczba 6-cyfrowa i w niej są np. 3 jedynki. To 3 miejsca są zajete przez jedynkę a potem wybieramy \(\displaystyle{ {7 \choose 3}}\) ponieważ cyfry mają być różne.
Przepraszam jesli to proste czy cos ale naprawde mam problem

Goter · Post autor: **Goter** » 23 wrz 2009, o 21:27

A w sumie masz rację :p tzn. że ten twój wynik jest błędny

ghostko · Post autor: **ghostko** » 23 wrz 2009, o 21:32

Goter pisze:Mamy liczbę sześciocyfrową:
_ _ _ _ _ _

wybieramy 3 pola z 6 na \(\displaystyle{ {6 \choose 3}}\) sposobów dla jedynek, mamy np. coś takiego
1 1 1 _ _ _
czy np.
1 _ _ 1 _ 1

zostają nam 3 puste pola, i teraz w każde z tych pól możemy wpisać dowolną cyfrę ze zbioru {2,3,4,5,6,7,8}, skoro mamy 7 cyfr do wyboru i tutaj już nic nas nie ogranicza, to normalnie liczymy z wariacji z powtórzeniami i mamy \(\displaystyle{ 7^3}\) sposobów.

Może teraz jaśniej?

Ach no tak ! Bo ja podchodziłem do tego od drugiej strony !
Dzięki wielkie !

Goter · Post autor: **Goter** » 23 wrz 2009, o 21:34

Ale jakby się zastanowić to ja nie wziąłem pod uwagę tego zdania:

"a pozostale cyfry są rozne miedzy sobą ?"

hmmm, dziwne

ghostko · Post autor: **ghostko** » 23 wrz 2009, o 21:35

ok nvm ja juz nic nie wiem ;/