Z rekurencji wyznaczyć funkcję tworzącą

[piotrek20008]

Z rekurencji wyznaczyć funkcję tworzącą

Nie wiem czy dobrze mi wyszło bo w odpowiedziach jest źle

\(\displaystyle{ a _{0}=0}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=1}\)
\(\displaystyle{ a _{n}=2a _{n-1}-a _{n-2}}\)

\(\displaystyle{ F(x)=a _{0} +a _{1}x +2x \sum_{n=2}^{ \infty }a _{n-1} x ^{n-1}-x ^{2} \sum_{n=2}^{ \infty }a _{n-2} x ^{n-2}=0+x+2x(F(x)-0)+x ^{2} F(x)=x+2xF(x)-x ^{2}F(x)}\)

\(\displaystyle{ F(x)-2xF(x)+x ^{2}F(x) =x}\)

\(\displaystyle{ F(x)= \frac{x}{1-2x+x ^{2} }}\)

Według jednego z przykładów powinno wyjść \(\displaystyle{ F(x)= \frac{1}{1-2x+x ^{2} }}\) i nie wiem w czym zrobiłem błąd
Według tego rozwiązania zamiast x powinna być jedynka ale nie wiem dlaczego

\(\displaystyle{ F(x)=1+2x(F(x)-0)+x ^{2} F(x)=1+2xF(x)-x ^{2}F(x)}\)

[Qń]

Twój rachunek jest w pełni poprawny. Po dokończeniu go, czyli rozłożeniu otrzymanej funkcji na ułamki proste i rozwinięcie ich w szereg, powinno wyjść \(\displaystyle{ a_n=n}\).

Q.