liczby sześciocyfrowe

[celia11]

proszę o pomoc w rozwiazaniu:

Z cyfr (1,2,3,4,5,6,7,8) tworzymy liczby sześcicyfrowe. Ile można utworzyć takich liczb , w których cyfra 1 występuje conajmniej trzy razy, a pozostałe cyfry są różne między sobą?

dziękuje

[Wicio]

Wskazówka:
Policz ile jest wszytskich 6cyfrowych liczb, a nastepnie oblicz kombinacje przeciwne, czyli gdy cyfra 1 występuję raz lub dwa .

[qba1337]

Liczb 6-ściocyfrowych o różnych cyfrach ułozonych z liczb od 1-8 jest:

\(\displaystyle{ V^{6}_{8}= \frac{8!}{2!}=20160}\)

Liczysz ile ich będzie gdy jedynka wystąpi raz lub dwa i odejmujesz od liczby wszystkich liczb 6ściocyfrowych.

[celia11]

wszystkich jest 20 160

z jedną jedynką jest 2520

z dwiema jedynkami 2520

więc po odjeciu mam 115 120

a powinno wyjść 7638

nie wiem dlaczego?

[abc666]

To jest złe rozwiązanie. Cyfra 1 może wystąpić 3,4,5 lub nawet 6 razy.

Najpierw wybierzmy miejsca dla jedynek
1. mamy 3 jedynki, wybieramy dla nich miejsce na
\(\displaystyle{ {6 \choose 3}}\)
teraz na pozostałe trzy miejsca wybieramy cyfry od 2 do 8 (w sumie 7 cyfr) , czyli
\(\displaystyle{ 7 \cdot 6 \cdot 5}\)
czyli razem \(\displaystyle{ {6 \choose 3} \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5=4200}\)
2. mamy 4 jedynki, analogicznie
\(\displaystyle{ {6 \choose 4} \cdot 7 \cdot 6=630}\)
3. mamy 5 jedynek
\(\displaystyle{ {6 \choose 5} \cdot 7 =42}\)
4. 6 jedynek, jedna możliwość

\(\displaystyle{ 4200+630+42+1=4873}\)

Skąd masz ten wynik, który podałaś?

[czeslaw]

Zapomnieliście wcześniej o tym, że może nie być nawet zadnej liczby z tych pozostałych (same jedynki).

abc666, rozumuję dokładnie tak samo. Wyniku nie będę sprawdzal.

[celia11]

z podręcznika

[jarzabek89]

celia11, dla pewności mi wyszło dokładnie tyle ile podał abc666