Rozdanie kart

k144 · Post autor: **k144** » 13 wrz 2009, o 23:07

Witam!
Proszę o sprawdzenie, czy dobrze rozwiązałem poniższy problem.
Treść zadania:
Talia 52 kart została losowo podzielona pomiędzy czterech graczy. Każdy dostał 13 kart.
Ile jest wszystkich możliwych rozdań?
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 4! {52 \choose 13} {39 \choose 13} {26 \choose 13} {13 \choose 13}}\)
Czy takie rozwiązanie jest poprawne?

qba1337 · Post autor: **qba1337** » 13 wrz 2009, o 23:56

Ja bym to zrobił po prostu tak mniej skomplikowanie, ale nie mam pewności ;p

\(\displaystyle{ 4* {52 \choose 13}}\)

k144 · Post autor: **k144** » 14 wrz 2009, o 00:59

qba1337 dzięki za szybką odpowiedź, ale wydaje mi się, że nie jest prawidłowa bo:
-dla pierwszego zawodnika trzeba wylosować 13 z 52 kart,
-dla drugiego zawodnika losujemy 13 z pozostałych 39 kart, a nie z nowej talii (52 kart).

Swojego rozwiązania też nie jestem pewien, ale może wyjaśnię skąd się wzięło:
1. Wybieram jednego z 4 graczy i dla niego losuję 13 z 52 kart \(\displaystyle{ {4 \choose 1} {52 \choose 13}}\)
2. Wybieram następnego gracza z pozostałych 3 i losuję dla niego 13 z 39 \(\displaystyle{ {3 \choose 1}{39 \choose 13}}\)
3. Wybieram kolejnego gracza z 2, którzy nie mają kart i losuję 13 z 26 \(\displaystyle{ {2 \choose 1} {26 \choose 13}}\)
4. Na końcu, dla ostatniego gracza zostaje 13 kart \(\displaystyle{ {1 \choose 1}{13 \choose 13}}\)
Stąd ostateczne rozwiązanie: \(\displaystyle{ 4!{52 \choose 13}{39 \choose 13}{26 \choose 13}{13 \choose 13}}\)
Czy ktoś mógłby potwierdzić moje rozumowanie lub ewentualnie wskazać w nim błąd?

Jaworekk · Post autor: **Jaworekk** » 14 wrz 2009, o 03:24

Wg mnie k144 robi to zadanie poprawnie

k144 · Post autor: **k144** » 14 wrz 2009, o 03:50

@Jaworekk: Fajnie, że jest osoba, która ufa w moje zdolności matemetyczne (nawet o 4 nad ranem ).
Ale im dłużej zastanawiam się nad rozwiązaniem, tym większe mam wątpliwości. Na przykład, gdybyśmy nie rozróżniali graczy, to czy wszystkich możliwych rozdań byłoby: \(\displaystyle{ {52 \choose 13} {39 \choose 13} {26 \choose 13}}\) ?

Jaworekk · Post autor: **Jaworekk** » 14 wrz 2009, o 10:56

Ok to co napisales w ostatnim poscie jest liczbą możliwości z ROZRÓŻNIANIEM graczy:

\(\displaystyle{ {52\choose 13} {39\choose 13} {26 \choose 13}}\)

bez rozróżniania graczy należałoby ten wynik podzielić przez 4!

Weź rozważ przypadek z 4 kartami. Liczba mozliwosci z rozroznieniem graczy to:

\(\displaystyle{ {4 \choose 1} {3 \choose 1} {2 \choose 1} = 4!}\)

Bez rozrożniania graczy dzielimy wynik na 4! i wychodzi 1 mozliwosc, co jest prawda, bo 4 karty mozemy rozdzielic na 4 "kupki" tylko na jeden sposob.