Jeszcze wypiszę tak, jak ty zaczynałeś. Po pierwsze jest krócej, a po drugie będzie można sprawdzić wynik:
\(\displaystyle{ \Delta (f(k)) = f(k+1) - f(k) = H_{k+1}3^{k+1} - H_k3^k = 3^k(3H_{k+1}-H_k)}\)
\(\displaystyle{ \Delta (3^k(3H_{k+1}-H_k))= 3^{k+1}(3H_{k+2}-H_{k+1}) - 3^k(3H_{k+1}-H_k)=}\)
\(\displaystyle{ =3^kH_k-2\cdot 3^{k+1}H_{k+1}+3^{k+2}H_{k+2}}\)
Jak widać było warto... to poprzednie raczej miało błąd. Zaraz sprawdzę.
OK, wszystko jasne. Wzór:
\(\displaystyle{ \Delta(ab)=\Delta(a)b+a\Delta(b)}\)
nie jest prawdziwy (czyli \(\displaystyle{ \Delta}\) nie jest różniczkowaniem wbrew temu, co mi się zdawało).
Zatem to rozwiązanie ciut wyżej jest właściwe, a to kilka postów wyżej do kitu.
