trójki schura - LLL

[Siarek10]

Prośba o pomoc w takim problemie.
Oszacować z dołu liczbę \(\displaystyle{ S(r)}\), czyli najmniejszą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\), taką że dla każdego pokolorowania \(\displaystyle{ r}\) kolorami zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,\cdots,n\}}\) istnieje jednokolorowa trójka schura.(czyli istnieją¸liczby \(\displaystyle{ x}\),
\(\displaystyle{ y}\) takie, ze \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ x + y}\) są pokolorowane tym samym kolorem).
Przy czym interesuje mnie rozwiązanie przy pomocy Lokalnego Lematu Levasza, czyli w skrócie(dużym)
jeśli: G= (V,E) graf zależności zdarzeń, \(\displaystyle{ A_{1},\cdots A_n}\). Liczba \(\displaystyle{ d(A_i)}\) liczba zdarzeń zależnych ze zdarzeniem \(\displaystyle{ A_i}\) to jeśli
1) \(\displaystyle{ P(A_i) \le p}\) dla każdego i
2) \(\displaystyle{ d(A_i) \le d}\) dla każdego i
3) \(\displaystyle{ ep(d+1) \le 1}\)

to \(\displaystyle{ P(\bar{A_i}) \ge 0}\)

Dziękuję za wszelakie sugestie.

[Dumel]

qrde na wakacje sobie wypożyczyłem "niekonstruktywne metody matematyki dyskretnej" gdzie ten problem był dokładnie opisany, ale kilka dni temu oddałem książkę do biblioteki więc książkowego rozwiązania nie przytocze, a w moim który przed chwilą opracowałem coś mi nie gra:
ponumerujmy trójki Shura od 1 do k. rozważamy losowe kolorowanie liczb. niech \(\displaystyle{ A_i}\) oznacza zdarzenie: \(\displaystyle{ i}\)-ta trójka jest jednokolorowa; oczywiście \(\displaystyle{ P(A_i)= \frac{1}{r^2}}\). i teraz mam coś dziwnego, bo łatwo udowodnić (przynjamniej tak mi się wydaje), że zdarzenia \(\displaystyle{ A_i}\) i \(\displaystyle{ A_j}\) są niezależne nie tylko wtedy gdy trójki \(\displaystyle{ i,j}\) nie maja żadnego elementu wspólnego, ale również gdy mają dokładnie jeden element wspólny. zostaje więc przypadek kiedy mają dwa elementy wspólne, a to nam daje \(\displaystyle{ d(A_i) \le 3}\) i wychodzi że dla \(\displaystyle{ r \ge 6}\) S(r) nie istnieje :-/ a to jak pamiętam z książki oczywiście bzdura