Wiem, że są to dość proste zadania, ale po pierwszej lekcji z tego tematu nic nie rozumiem. Niektóre z nich mam rozwiązane, lecz nie rozumiem dlaczego tak ma być. Proszę o wytłumaczenie.
zad. 1.
Na ile sposobów można umieścić 7 osób na siedmiu krzesłach:
a) przy okrągłym stole bez numerowanych miejsc ODP.: 6!
b) przy okrągłym stole z numerowanymi miejscami ODP.: 7 !
zad. 2. Na ile sposobów można ustawić 10 osób w rzędzie, tak aby:
a) ustalone 2 osoby stały obok siebie, ODP.: 9!*2
b) ustalone 3 osoby stały obok siebie, ODP.: 8!*2
c) ustalona 1 osoba stała pomiędzy 2 innymi ustalonymi osobami, ODP.: 8!*2
d) między ustalonymi 2 osobami stały 4 inne ustalone osoby, ODP.: 5!*4!*2
e) między ustalonymi 2 osobami stało 8 pozostałych osób, ODP.: 8!*2
zad.3.
Ile liczb 5-cyfrowych, w których cyfry się nie powtarzają, można utworzyć z cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, jęli wiadomo, że:
a) cyfra jedności jest mniejsza niż 2,
b) liczba jest nieparzysta.
Z góry dziękuje za pomoc.
permutacje-tworzenie liczb, ile sposobów
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10217
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
permutacje-tworzenie liczb, ile sposobów
W pierwszym, ponumerowany stół to tak jak rząd - z oczywistych powodów \(\displaystyle{ 9!}\). Gdy nie ma numerków, układy typu
ABCD
DABC
CDAB
BCDA
są równe, więc ilość różnych układów to \(\displaystyle{ \frac{9!}{9}=8!}\)
W drugim:
a) Najpierw ustalamy ilość możliwych układów dla tych dwóch osób - \(\displaystyle{ 2!}\). Potem tę parę uznajemy za osobę i ustawiamy w rzędzie na \(\displaystyle{ 9!}\) możliwości.
b) Analogicznie do a) - tu chyba wychodzi \(\displaystyle{ 8! \cdot 3!=8! \cdot 6}\)?
c) Dwie inne osoby mogą stać wokół ustalonej na \(\displaystyle{ 2!}\) sposobów, potem analogicznie do b) cała sytuacja ma \(\displaystyle{ 8! \cdot 2!}\) możliwości.
d) Analogicznie do c) - tu wybieramy 2 skrajne osoby (\(\displaystyle{ 2!}\)), 4 w środku (\(\displaystyle{ 4!}\)) i możliwości rozstawienia tego układu z pozostałymi 4 osobami \(\displaystyle{ 5!}\).
e) Analogicznie do d)
\(\displaystyle{ 2! \cdot 8!}\)
3.
a) Na pierwszym miejscu nie stoi 0. Stoi tam liczba \(\displaystyle{ <2}\) lub \(\displaystyle{ \ge 2}\). Na końcu stoi liczba mniejsza od dwóch.
\(\displaystyle{ 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2}\)
b) Na początku nie stoi \(\displaystyle{ 0}\). Stoi tam liczba nieparzysta lub parzysta. Na końcu stoi \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 3}\).
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2}\)
ABCD
DABC
CDAB
BCDA
są równe, więc ilość różnych układów to \(\displaystyle{ \frac{9!}{9}=8!}\)
W drugim:
a) Najpierw ustalamy ilość możliwych układów dla tych dwóch osób - \(\displaystyle{ 2!}\). Potem tę parę uznajemy za osobę i ustawiamy w rzędzie na \(\displaystyle{ 9!}\) możliwości.
b) Analogicznie do a) - tu chyba wychodzi \(\displaystyle{ 8! \cdot 3!=8! \cdot 6}\)?
c) Dwie inne osoby mogą stać wokół ustalonej na \(\displaystyle{ 2!}\) sposobów, potem analogicznie do b) cała sytuacja ma \(\displaystyle{ 8! \cdot 2!}\) możliwości.
d) Analogicznie do c) - tu wybieramy 2 skrajne osoby (\(\displaystyle{ 2!}\)), 4 w środku (\(\displaystyle{ 4!}\)) i możliwości rozstawienia tego układu z pozostałymi 4 osobami \(\displaystyle{ 5!}\).
e) Analogicznie do d)
\(\displaystyle{ 2! \cdot 8!}\)
3.
a) Na pierwszym miejscu nie stoi 0. Stoi tam liczba \(\displaystyle{ <2}\) lub \(\displaystyle{ \ge 2}\). Na końcu stoi liczba mniejsza od dwóch.
\(\displaystyle{ 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2}\)
b) Na początku nie stoi \(\displaystyle{ 0}\). Stoi tam liczba nieparzysta lub parzysta. Na końcu stoi \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 3}\).
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2}\)
-
Yammi
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 26 maja 2009, o 17:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 1 raz
permutacje-tworzenie liczb, ile sposobów
W zad. 2b powinno być 8!*3 a nie 8!*3! czyli 8!*6
A co do 3 zadania to skąd się to bierze: \(\displaystyle{ 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2}\) lub \(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2}\)
Resztę już zrozumiałam. Dzięki
A co do 3 zadania to skąd się to bierze: \(\displaystyle{ 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2}\) lub \(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2}\)
Resztę już zrozumiałam. Dzięki
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10217
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
permutacje-tworzenie liczb, ile sposobów
3.
a) Rozważamy dwa przypadki.
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Na pierwszym miejscu stoi \(\displaystyle{ 1}\). Wtedy na ostatnim stoi \(\displaystyle{ 0}\) a pozostałe 3 miejsca mogą być zajęte na \(\displaystyle{ 3!}\) sposobów.
Dlatego \(\displaystyle{ 1 \cdot 1 \cdot 3!}\)
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Na pierwszym miejscu nie stoi \(\displaystyle{ 1}\). Może tam stać \(\displaystyle{ 2,3,4}\) - \(\displaystyle{ 3}\) możliwości. Na ostatnim miejscu może stać \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 0}\). Czyli \(\displaystyle{ \times 2}\) Pozostałe 3 miejsca mogą być zajęte na \(\displaystyle{ 3!}\) sposobów.
Obydwa przypadki mogą wystąpić niezależnie, więc liczba możliwości równa jest sumie liczb możliwości każdego z przypadków.
\(\displaystyle{ 1 \cdot 1 \cdot 3! + 3 \cdot 2 \cdot 3!=7 \cdot 3!}\)
b) Również dwa przypadki.
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Na pierwszym miejscu stoi liczba parzysta (poza zerem) - \(\displaystyle{ 2}\) możliwości. Na ostatnim miejscu stoi liczba nieparzysta - \(\displaystyle{ \times 2}\) możliwości. Reszta jak zwykle \(\displaystyle{ 3!}\). Razem:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 3!}\)
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Na pierwszym miejscu stoi liczba nieparzysta - \(\displaystyle{ 2}\) możliwości. Na ostatnim miejscu może stać tylko ta liczba, która nie stoi na pierwszym miejscu - \(\displaystyle{ \times 1}\) możliwości. Reszta standardowo \(\displaystyle{ 3!}\) Razem:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 1 \cdot 3!}\)
Oba przypadki niezależne, dodajemy ilość możliwości dla każdego z nich.
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 3! + 2 \cdot 1 \cdot 3!=6 \cdot 3!}\)
a) Rozważamy dwa przypadki.
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Na pierwszym miejscu stoi \(\displaystyle{ 1}\). Wtedy na ostatnim stoi \(\displaystyle{ 0}\) a pozostałe 3 miejsca mogą być zajęte na \(\displaystyle{ 3!}\) sposobów.
Dlatego \(\displaystyle{ 1 \cdot 1 \cdot 3!}\)
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Na pierwszym miejscu nie stoi \(\displaystyle{ 1}\). Może tam stać \(\displaystyle{ 2,3,4}\) - \(\displaystyle{ 3}\) możliwości. Na ostatnim miejscu może stać \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 0}\). Czyli \(\displaystyle{ \times 2}\) Pozostałe 3 miejsca mogą być zajęte na \(\displaystyle{ 3!}\) sposobów.
Obydwa przypadki mogą wystąpić niezależnie, więc liczba możliwości równa jest sumie liczb możliwości każdego z przypadków.
\(\displaystyle{ 1 \cdot 1 \cdot 3! + 3 \cdot 2 \cdot 3!=7 \cdot 3!}\)
b) Również dwa przypadki.
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Na pierwszym miejscu stoi liczba parzysta (poza zerem) - \(\displaystyle{ 2}\) możliwości. Na ostatnim miejscu stoi liczba nieparzysta - \(\displaystyle{ \times 2}\) możliwości. Reszta jak zwykle \(\displaystyle{ 3!}\). Razem:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 3!}\)
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Na pierwszym miejscu stoi liczba nieparzysta - \(\displaystyle{ 2}\) możliwości. Na ostatnim miejscu może stać tylko ta liczba, która nie stoi na pierwszym miejscu - \(\displaystyle{ \times 1}\) możliwości. Reszta standardowo \(\displaystyle{ 3!}\) Razem:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 1 \cdot 3!}\)
Oba przypadki niezależne, dodajemy ilość możliwości dla każdego z nich.
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 3! + 2 \cdot 1 \cdot 3!=6 \cdot 3!}\)