Rozmieszczenie osób na ławce i przy okrągłym stole

doneczka · Post autor: **doneczka** » 11 sie 2009, o 16:54

Witam.
Mam pytanie do zadania:
Na ile sposobów można rozmieścić 20 osób
a) na ławce
b) przy okrągłym stole.
Mam odpowiedzi to tego zadania w punkcie a) ma być 20! i to jest dla mnie oczywiste bo żeby wybrać pierwszą osobę mamy 20 możliwości, drugą 19 i tak dalej. A co w drugim punkcie? Odpowiedź jest, że mamy 19! możliwości. Czy może mi to ktoś uzasadnić?

bayo84 · Post autor: **bayo84** » 11 sie 2009, o 17:33

Tak sie nad tym zastanawialem...:
Wyobrazmy sobie 2 osoby i w 2 krzesla(naprzeciw siebie) przy okraglym stole, ktory znajduje sie w przestrzeni bez punktow odniesienia, krzesla sa nieoznaczone i identyczne. Wtedy nie potrafilibysmy rozroznic dwoch przypadkow rozmieszczenia osb A i B na krzeslach A' i B'. Zawsze siedzieliby naprzeciwko siebie. Podobnie jesli mamy 20 krzesel(co 18 stopni) przy okraglym stole i wszystkie osoby przesadzalibysmy o 1 miejsce w prawo(20 brakujacych nam zdarzen) to ich polozenie wzgledem siebie nie zmienialoby sie. Moze o to chodzi, ale to tylko moje dywagacje.

rodzyn7773 · Post autor: **rodzyn7773** » 11 sie 2009, o 17:36

czy w podpunkcie b nie powinno być dopisane, że 2 rozmieszczenia, w których każdy ma tych samych sąsiadów, uważamy za jednakowe? (bo jeżeli tego nie ma to w podpunkcie b również wychodzi chyba \(\displaystyle{ 20!}\))

doneczka · Post autor: **doneczka** » 11 sie 2009, o 17:40

Nie ma nic takiego. Napisałam cała treść. Dla mnie też tam powinno być 20!, ale odpowiedź 19! mam z zajęć więc stwierdziłam, że to może ja czegoś nie rozumiem

rodzyn7773 · Post autor: **rodzyn7773** » 11 sie 2009, o 17:45

wg mnie gdybyśmy robili to wg treści to mamy 20 miejsc i nie ważne że ustawiamy przy okrągłym stole czy na ławce osoby bo wybieramy przy okrągłym stole 1 krzesełko i możemy tam przypisać 1 z 20 ludzi, wybieramy 2 krzesełko .. itd zgodnie z twoim tokiem myślenia w podpunkcie a

doneczka · Post autor: **doneczka** » 11 sie 2009, o 17:50

Tylko, że okrągły stół to okrągły stół, nie wiadomo gdzie jest początek :/

rodzyn7773 · Post autor: **rodzyn7773** » 11 sie 2009, o 17:56

to nie ma znaczenia

doneczka · Post autor: **doneczka** » 11 sie 2009, o 17:57

Ok to dziękuje za pomoc i zmieniam odpowiedź na 20!

Tajemniczy Don Pedro

Na ławce 20 osób można rozmieścić na 20! sposobów. Kto nie wierzy, może to sobie sprawdzić np. na 3 osobach i zrozumie.

Ławka ma miejsca niejako oznaczone. Pierwsza siadająca na ławce osoba może usiąść na jednym z 20 różnych miejsc. Dla ilości kombinacji nie jest obojętne gdzie usiądzie.

Przy okrągłym stole, przy którym miejsca są nieponumerowane, 1 zasiadająca osoba może usiąść w ilości kombinacji równej 1.
Gdzie by nie usiadła, nie tworzy kombinacji 1 z 20, tylko 1 z 1.
Chyba, że miejsca są ponumerowane. Ale gdyby miejsca były ponumerowane, to kształt, rodzaj stołu nie odgrywa żadnej roli i zawsze będzie 20 osób na 20 miejscach ilość kombinacji równa 20!

Jeżeli już pierwsza osoba usiadła, no to kolejne 19 osób siada /względem tej pierwszej osoby/ w liczbie kombinacji 19!

Zatem rozwiązanie brzmi 1 razy 19! = 19!

Gacuteek · Post autor: **Gacuteek** » 13 sie 2009, o 08:55

można wywnioskować taki wzór :

\(\displaystyle{ (n-1)!}\)

n-liczba osób siedzących przy okrągłym stole.

To jest permutacja w której liczy się tylko otoczenie osób siedzących wokół jednej dowolnie wybranej.
(wybieramy jedną osobę i liczymy kombinacje usadzenia pozostałych osób względem niej)

doneczka · Post autor: **doneczka** » 13 sie 2009, o 10:58

Nie rozumiem dlaczego. Przecież pierwszą wybieramy na 20 sposobów. Czy możesz to wytłumaczyć tak bardziej na chłopski rozum?

Post autor: **Dasio11** » 13 sie 2009, o 11:03

Pierwszą wybieramy na jeden sposób, bo jak rozróżnisz, gdzie usiadła ta osoba, skoro stół jest okrągły, a pozostałych osób jeszcze nie ma? Chyba, że ktoś przykleił akurat na tym krześle gumę do żucia, ale tego nie ma w zadaniu

Gacuteek · Post autor: **Gacuteek** » 13 sie 2009, o 12:17

Stół jest okrągły, krzesła nieponumerowane(nieoznakowane)więc nie ma różnicy gdzie posadzisz pierwszą osobę.. liczą sie tylko osoby siedzące obok niej( jej otoczenie).

doneczka · Post autor: **doneczka** » 13 sie 2009, o 14:00

Teraz już rozumiem dziękuję bardzo za wszystkie odpowiedzi