Punkty w kole, odległości dowolnych dwóch

[patry93]

Witam.

Dowieść, że w kole o promieniu 1 nie można wybrać więcej niż 5 punktów w taki sposób, aby odległość dowolnych dwóch z nich była większa niż 1.

Mam coś takiego:

Ukryta treść:    

Dzielimy koło o środku \(\displaystyle{ O}\) na 6 sektorów po \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) punktami \(\displaystyle{ A_1,A_2, \ldots, A_6}\) leżącymi na obwodzie. Najpierw zauważmy, że nie może istnieć rozważany punkt \(\displaystyle{ K}\) taki, że \(\displaystyle{ K=O}\), ponieważ wtedy każdy inny punkt będzie odległy od niego o nie więcej niż 1 - sprzecz. Jeśli pewne dwa punkty znajdują się w tym samym sektorze, to odległość między nimi nie przekroczy długości promienia (a zarazem pewnego boku \(\displaystyle{ A_iA_j}\)) równego 1 - sprzecz. Więc mając więcej niż 5 punktów możemy wybrać tylko 6 i każdy włożyć do innego sektora - niech będą to punkty \(\displaystyle{ K_1, K_2, \ldots K_6}\) i znajdują się odpowiednio w sektorach wyznaczonych przez \(\displaystyle{ A_1 A_2 , A_2 A_3 , \ldots , A_6A_1}\). Weźmy dowolnie małe \(\displaystyle{ \epsilon >0}\), wtedy punkt \(\displaystyle{ A_1}\) jest odległy od \(\displaystyle{ A_2}\) o \(\displaystyle{ 1+\epsilon}\) oraz zauważmy, że punkt \(\displaystyle{ A_1}\) nie może leżeć na odcinku \(\displaystyle{ OA_1}\), ponieważ wtedy \(\displaystyle{ A_2}\) leżałby w sektorze wyznaczonym przez \(\displaystyle{ A_3A_4}\) - sprzecz. Analogicznie dla kolejnych punktów. Chciałem pokazać teraz sprzeczność z odległością punktów \(\displaystyle{ K_6 \ i \ K_1}\), ale nie wiem jeszcze jak...

Z góry dziękuję za pomoc.
Pozdrawiam, P.

[Dumel]

sektory to złoty środek na wiele takich zadań i na to też, z tym, że tu trzeba wiekszego sprytu a mianowicie zaczynamy od punktów w kole a potem dzielimy koło na 6 części po 60 stopni tak aby jeden z punktów leżał na krawędzi dwóch sektorów. ponumerujmy sektory: 1,2,...,6 (1 i 6 sąsiadują ze sobą) a ten punkt niech leży na wspólnej krawędzi sektorów 1 i 6. jeśli któryś z pozostałych 5 punktów (aha to dowód nie wprost ) leży w którymś z sektorów: 1,6 to mamy teze, zostają więc sektory 2,3,4,5 a zostało 5 punktów więc...

[patry93]

Geniusz, dzięki
Mnie jeszcze sprytu brakuje -- 9 sierpnia 2009, 20:52 --Hm, a może jeszcze zadanie dodatkowe - znaleźć takie rozmieszczenie pięciu punktów w kole o promieniu 1, aby każde dwa były odległe od siebie o więcej niż 1.

[Dumel]

w równych odległościach na obwodzie

[patry93]

Też odruchowo takie coś mi przyszło do głowy, ale czy wtedy odległości te nie będą równe 1 (a powinny być większe) ? Przecież to będzie tak naprawdę sześciokąt foremny, a on ma długość boku taką samą jak promień okręgu opisanego

[Dumel]

ale masz 5 punktów a nie 6