egzamin z matematyki dyskretnej
-
- Użytkownik
- Posty: 128
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawrzeńczyce
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 14 razy
egzamin z matematyki dyskretnej
1. Udowodnij równość: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i ^{3} = \left(\sum_{i=1}^{n} i\right)^{2}}\)
2. Wykazać (przekształcając warunek należenia do zbioru), że zachodzi prawo rachunku zbiorów
\(\displaystyle{ \matfrak{A}\backslash\left(\matfrak{B}\cup\matfrak{C}\right)=\left(\matfrak{A}\backslash \matfrak{B}\right)\backslash\matfrak{C}}\)
3. W zbiorze \(\displaystyle{ \mathrm{Z}_{2009}}\) rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 7x\equiv3}\)
4. Znaleźć nwd(982,688) oraz takie liczby \(\displaystyle{ \matfrak{k,l}\in \matfrak{Z}}\), że \(\displaystyle{ \matfrak{k} \cdot 982+\matfrak{l}\cdot688=nwd(982,688)}\)
5. Na zbiorze \(\displaystyle{ \matfrak{S}=\{0,1,2,3,4\}}\) określono relację \(\displaystyle{ \matfrak{R}}\) następująco: \(\displaystyle{ \left(\matfrak{m,n}\right)\in\matfrak{R}}\) wtw. gdy \(\displaystyle{ \matfrak{m+n} \le 3}\)
EDIT:
polecenia do zadania 5
a) sprawdzić, które z własności: zwrotność, symetria, przechodniość, antysymetria spełnia relacja \(\displaystyle{ \matfrak{R}}\)
b) zapisać tę relację jako zbiór par uporządkowanych
Reszty nie daję do rozwiązania (było 15, wybrałem najtrudniejsze [wg mnie]), bo wstyd takich rzeczy nie umieć
2. Wykazać (przekształcając warunek należenia do zbioru), że zachodzi prawo rachunku zbiorów
\(\displaystyle{ \matfrak{A}\backslash\left(\matfrak{B}\cup\matfrak{C}\right)=\left(\matfrak{A}\backslash \matfrak{B}\right)\backslash\matfrak{C}}\)
3. W zbiorze \(\displaystyle{ \mathrm{Z}_{2009}}\) rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 7x\equiv3}\)
4. Znaleźć nwd(982,688) oraz takie liczby \(\displaystyle{ \matfrak{k,l}\in \matfrak{Z}}\), że \(\displaystyle{ \matfrak{k} \cdot 982+\matfrak{l}\cdot688=nwd(982,688)}\)
5. Na zbiorze \(\displaystyle{ \matfrak{S}=\{0,1,2,3,4\}}\) określono relację \(\displaystyle{ \matfrak{R}}\) następująco: \(\displaystyle{ \left(\matfrak{m,n}\right)\in\matfrak{R}}\) wtw. gdy \(\displaystyle{ \matfrak{m+n} \le 3}\)
EDIT:
polecenia do zadania 5
a) sprawdzić, które z własności: zwrotność, symetria, przechodniość, antysymetria spełnia relacja \(\displaystyle{ \matfrak{R}}\)
b) zapisać tę relację jako zbiór par uporządkowanych
Reszty nie daję do rozwiązania (było 15, wybrałem najtrudniejsze [wg mnie]), bo wstyd takich rzeczy nie umieć
Ostatnio zmieniony 25 lip 2009, o 20:29 przez snajper0208, łącznie zmieniany 1 raz.
- czeslaw
- Użytkownik
- Posty: 2156
- Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 317 razy
egzamin z matematyki dyskretnej
Wstyd to nie umieć się do tego przyznać, jak to ktoś mądry kiedyś powiedział.
1. Po prawej masz sumę ciągu arytmetycznego (podniesioną do kwadratu, ale to mniej istotne), po zapisaniu poleć indukcją i wychodzi.
2. Masz udowodnić, że:
\(\displaystyle{ x \in A\backslash (B \cup C) \Leftrightarrow x \in (A \backslash B)\backslash C}\)
Mam nadzieję że umiesz. Najpierw w jedną stronę (implikacja) i potem w drugą (implikacja odwrócona).
4. NWD liczyło się w przedszkolu chyba Robisz dwa takie słupeczki i w każdym wypisujesz po kolei dzielniki, dzieląc również liczbę. Jak sobie przypomnisz metodę to zrobisz.
5. Chyba polecenia zabrakło.
Jakby jeszcze coś to pisz, ktoś pomoże. Ewentualne problemy też zgłaszaj.
1. Po prawej masz sumę ciągu arytmetycznego (podniesioną do kwadratu, ale to mniej istotne), po zapisaniu poleć indukcją i wychodzi.
2. Masz udowodnić, że:
\(\displaystyle{ x \in A\backslash (B \cup C) \Leftrightarrow x \in (A \backslash B)\backslash C}\)
Mam nadzieję że umiesz. Najpierw w jedną stronę (implikacja) i potem w drugą (implikacja odwrócona).
4. NWD liczyło się w przedszkolu chyba Robisz dwa takie słupeczki i w każdym wypisujesz po kolei dzielniki, dzieląc również liczbę. Jak sobie przypomnisz metodę to zrobisz.
5. Chyba polecenia zabrakło.
Jakby jeszcze coś to pisz, ktoś pomoże. Ewentualne problemy też zgłaszaj.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
egzamin z matematyki dyskretnej
no, niestety drugiej części pytania tak nie zrobi, trzeba wykorzystać rozszerzony algorytm Euklidesa.czeslaw pisze: 4. NWD liczyło się w przedszkolu chyba Robisz dwa takie słupeczki i w każdym wypisujesz po kolei dzielniki, dzieląc również liczbę. Jak sobie przypomnisz metodę to zrobisz.
egzamin z matematyki dyskretnej
3. \(\displaystyle{ 7|2009}\), więc nie ma rozwiązań. Gdyby \(\displaystyle{ (7,2009)=1}\) to algorytm Euklidesa trzeba zastosować.
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
egzamin z matematyki dyskretnej
5) Nie jest zwrotna (para (2,2)), jest symetryczna (oczywiste, ponieważ dodawanie jest przemienne), nie jest przechodnia (pary (1,2) i (2,1)), nie jest antysymetryczna (znowu (2,1) i (1,2)). Zapisać relację jako zbiór par uporządkowanych to chyba nie problem.
-
- Użytkownik
- Posty: 128
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawrzeńczyce
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 14 razy
egzamin z matematyki dyskretnej
a mógłbyś to trochę szerzej omówić ? bo niestety, ale ani na naszych ćwiczeniach, ani nigdy wcześniej nie spotkałem sie z takim typem zadań... no i postanowiłem poszukać na necie aż dotarłem tutajfrej pisze:3. \(\displaystyle{ 7|2009}\), więc nie ma rozwiązań. Gdyby \(\displaystyle{ (7,2009)=1}\) to algorytm Euklidesa trzeba zastosować.
no dobra, widzę rozwiązania, ale jak to zapisać ? chociaż pierwsze linijki, resztę już doliczęWasilewski pisze:5) Nie jest zwrotna (para (2,2)), jest symetryczna (oczywiste, ponieważ dodawanie jest przemienne), nie jest przechodnia (pary (1,2) i (2,1)), nie jest antysymetryczna (znowu (2,1) i (1,2)). Zapisać relację jako zbiór par uporządkowanych to chyba nie problem.
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
egzamin z matematyki dyskretnej
Zatem na przykład uzasadnienie dlaczego nie jest zwrotna. Zaprzeczenie definicji zwrotności wygląda tak:
\(\displaystyle{ \exists_{x} \neg (x Rx)}\)
Jest to zdanie prawdziwe, co można pokazać, wskazując palcem x=2.
\(\displaystyle{ \exists_{x} \neg (x Rx)}\)
Jest to zdanie prawdziwe, co można pokazać, wskazując palcem x=2.
-
- Użytkownik
- Posty: 128
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawrzeńczyce
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 14 razy
egzamin z matematyki dyskretnej
2. usiadłem, popróbowałem i zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ \matfrak{A} \backslash \left(\matfrak{B} \cup \matfrak{C} \right) = \left(\matfrak{A} \backslash \matfrak{B} \right) \backslash \matfrak{C}\\
\\
\matfrak{x} \in \left(\matfrak{B} \cup \matfrak{C} \right) \Leftrightarrow \matfrak{x} \in \matfrak{B} \vee \matfrak{x} \in \matfrak{C} \\
\matfrak{x} \in \matfrak{A} \backslash\left(\matfrak{B} \cup \matfrak{C} \right) \Leftrightarrow \matfrak{x} \in \matfrak{A} \wedge \matfrak{x} \notin \left(\matfrak{B} \cup \matfrak{C} \right)\\
\matfrak{x} \in \left(\matfrak{A} \backslash \matfrak{B} \right) \backslash \matfrak{C} \Leftrightarrow \left( \matfrak{x} \in \matfrak{A} \wedge \matfrak{x} \notin \matfrak{B}\right) \wedge \matfrak{x} \notin \matfrak {C}\\
\mathrm{L}=\matfrak{x} \in \matfrak{A} \wedge \matfrak{x} \notin \left(\matfrak{B} \cup \matfrak{C} \right)=\\
=\matfrak{x} \in \matfrak{A} \wedge \neg \left( \matfrak{x} \in \matfrak{B} \vee \matfrak{x} \in\matfrak{C}\right)=\\
\matfrak{x} \in \matfrak{A} \wedge \matfrak{x} \notin \matfrak{B} \wedge \matfrak{x} \notin \matfrak{C}=\\
=\mathrm{P}}\)
może ktoś sprawdzić czy to jest poprawne rozumowanie ?
\(\displaystyle{ \matfrak{A} \backslash \left(\matfrak{B} \cup \matfrak{C} \right) = \left(\matfrak{A} \backslash \matfrak{B} \right) \backslash \matfrak{C}\\
\\
\matfrak{x} \in \left(\matfrak{B} \cup \matfrak{C} \right) \Leftrightarrow \matfrak{x} \in \matfrak{B} \vee \matfrak{x} \in \matfrak{C} \\
\matfrak{x} \in \matfrak{A} \backslash\left(\matfrak{B} \cup \matfrak{C} \right) \Leftrightarrow \matfrak{x} \in \matfrak{A} \wedge \matfrak{x} \notin \left(\matfrak{B} \cup \matfrak{C} \right)\\
\matfrak{x} \in \left(\matfrak{A} \backslash \matfrak{B} \right) \backslash \matfrak{C} \Leftrightarrow \left( \matfrak{x} \in \matfrak{A} \wedge \matfrak{x} \notin \matfrak{B}\right) \wedge \matfrak{x} \notin \matfrak {C}\\
\mathrm{L}=\matfrak{x} \in \matfrak{A} \wedge \matfrak{x} \notin \left(\matfrak{B} \cup \matfrak{C} \right)=\\
=\matfrak{x} \in \matfrak{A} \wedge \neg \left( \matfrak{x} \in \matfrak{B} \vee \matfrak{x} \in\matfrak{C}\right)=\\
\matfrak{x} \in \matfrak{A} \wedge \matfrak{x} \notin \matfrak{B} \wedge \matfrak{x} \notin \matfrak{C}=\\
=\mathrm{P}}\)
może ktoś sprawdzić czy to jest poprawne rozumowanie ?
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
egzamin z matematyki dyskretnej
dobrze, ale pisanie L=jakaś formuła=P nie jest zbyt ładne i nie ma większego sensu.snajper0208 pisze:2. usiadłem, popróbowałem i zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ \matfrak{A} \backslash \left(\matfrak{B} \cup \matfrak{C} \right) = \left(\matfrak{A} \backslash \matfrak{B} \right) \backslash \matfrak{C}\\
\\
\matfrak{x} \in \left(\matfrak{B} \cup \matfrak{C} \right) \Leftrightarrow \matfrak{x} \in \matfrak{B} \vee \matfrak{x} \in \matfrak{C} \\
\matfrak{x} \in \matfrak{A} \backslash\left(\matfrak{B} \cup \matfrak{C} \right) \Leftrightarrow \matfrak{x} \in \matfrak{A} \wedge \matfrak{x} \notin \left(\matfrak{B} \cup \matfrak{C} \right)\\
\matfrak{x} \in \left(\matfrak{A} \backslash \matfrak{B} \right) \backslash \matfrak{C} \Leftrightarrow \left( \matfrak{x} \in \matfrak{A} \wedge \matfrak{x} \notin \matfrak{B}\right) \wedge \matfrak{x} \notin \matfrak {C}\\
\mathrm{L}=\matfrak{x} \in \matfrak{A} \wedge \matfrak{x} \notin \left(\matfrak{B} \cup \matfrak{C} \right)=\\
=\matfrak{x} \in \matfrak{A} \wedge \neg \left( \matfrak{x} \in \matfrak{B} \vee \matfrak{x} \in\matfrak{C}\right)=\\
\matfrak{x} \in \matfrak{A} \wedge \matfrak{x} \notin \matfrak{B} \wedge \matfrak{x} \notin \matfrak{C}=\\
=\mathrm{P}}\)
może ktoś sprawdzić czy to jest poprawne rozumowanie ?
Twoje rozumowanie sprowadza się do tego, że \(\displaystyle{ x\in A \backslash (B \cup C)\Leftrightarrow x\in (A \backslash B) \backslash C}\), i to jest to co należało udowodnić.
-
- Użytkownik
- Posty: 128
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawrzeńczyce
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 14 razy
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
egzamin z matematyki dyskretnej
Następujące zdania są równoważne:
\(\displaystyle{ x\in A \backslash (B \cup C)}\)
\(\displaystyle{ x\in A \wedge \neg x \in (B \cup C)}\)
\(\displaystyle{ x\in A \wedge \neg (x \in B \vee x \in C)}\)
z deMorgana:
\(\displaystyle{ x\in A \wedge (x \notin B \wedge x \notin C)}\)
\(\displaystyle{ x\in A \wedge x \notin B \wedge x \notin C}\)
\(\displaystyle{ (x\in A \wedge x \notin B ) \wedge x \notin C}\)
\(\displaystyle{ (x\in A \backslash B) \wedge x \notin C}\)
\(\displaystyle{ x \in ( A \backslash B ) \backslash C}\)
Stąd dla dowolnego x: \(\displaystyle{ x\in A \backslash (B \cup C) \Leftrightarrow x \in ( A \backslash B ) \backslash C}\)
więc te zbiory są równe. Jak widać, prawie to samo co napisałeś Ty, tylko troche uporządkowane.
\(\displaystyle{ x\in A \backslash (B \cup C)}\)
\(\displaystyle{ x\in A \wedge \neg x \in (B \cup C)}\)
\(\displaystyle{ x\in A \wedge \neg (x \in B \vee x \in C)}\)
z deMorgana:
\(\displaystyle{ x\in A \wedge (x \notin B \wedge x \notin C)}\)
\(\displaystyle{ x\in A \wedge x \notin B \wedge x \notin C}\)
\(\displaystyle{ (x\in A \wedge x \notin B ) \wedge x \notin C}\)
\(\displaystyle{ (x\in A \backslash B) \wedge x \notin C}\)
\(\displaystyle{ x \in ( A \backslash B ) \backslash C}\)
Stąd dla dowolnego x: \(\displaystyle{ x\in A \backslash (B \cup C) \Leftrightarrow x \in ( A \backslash B ) \backslash C}\)
więc te zbiory są równe. Jak widać, prawie to samo co napisałeś Ty, tylko troche uporządkowane.