Matematyka Dyskretna Egzamin

[uniejes23]

1. Wyznacz, że zbiór liczb pierwszych jest nieskończony.
2. Sprawdź czy liczba 127 jest liczbą złożoną. Omów Algorytm Rozwiązywania
3. Znaleźć wszystkie rozwiązania układu kongurencji:

\(\displaystyle{ x \equiv 1\ mod \7}\)
\(\displaystyle{ x \equiv 2 \mod \6}\)
Mieszczących się w zakresie liczb: \(\displaystyle{ 1 \le x \le 42}\)
Ile jest takich rozwiązań i dlaczego.

4. Jak zadana jest funkcja szyfrująca i funkcja deszyfrująca w systemie kryptograficznym RSA?
Dany jest iloczyn \(\displaystyle{ n =551}\) dwóch liczb pierwszych oraz liczba \(\displaystyle{ e=5}\), taka że \(\displaystyle{ 1 < e < \varphi (n)}\),\(\displaystyle{ (e, \varphi (n))}\). Zaszyfrować element \(\displaystyle{ a=7}\) ze zbioru jednostek tekstu jawnego.

5. Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Podać definicję elementu odwracalnego w \(\displaystyle{ R}\). Wykazać że odwrotność elementu odwracalnego w \(\displaystyle{ R}\) jest wyznaczona jednoznacznie.

Prosiłbym o rozwiązanie tych zadań wraz z wytłumaczeniem. Bo te zadania uziemiły mnie na egzaminie.
Z Góry dziękuje-- 24 lip 2009, o 19:12 --edit.
6. Wiadomo, że macierz

\(\displaystyle{ G= \begin{bmatrix} 1&3&1&0&0&0\\0&2&2&3&1&0\\0&2&0&1&0&1\end{bmatrix}}\)
nad ciałem \(\displaystyle{ Z_5}\) jest macierzą generującą pewnego kodu liniowego. Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu dualnego.

[Artist]

1. Jest bardzo popularny dowód na to.

2. Szukamy dzielników do \(\displaystyle{ \sqrt{127}<12}\)
Liczby pierwsze w tym zakresie <1;12> to {2,3,5,7,11}
Dzieliy kolejno 127 przez te liczby, ale żadna nie dzieli bez reszty 127. 127 jest więc liczba pierwszą.

[Nakahed90]

Czy treść trzeciego jest kompletna?

[uniejes23]

\(\displaystyle{ x \equiv 1\ mod 7}\)
\(\displaystyle{ x \equiv 2 \mod 6}\)
Małe przeoczenie a ile problemu =]

[Nakahed90]

Sprowadź obie kongruencje do jednego modulo, a później odejmnij je stronami.