Ilość podziałów na trzy grupy

[Artist]

Ile jest możliwych sposobów podziału na 3 grupy n ludzi:
a)grupa może być pusta;
b)grupę stanowi co najmniej jedna osoba.

PS.
Ciekawi mnie jeszcze przypadek ogólny:
Dla 4,5,6,.....k grup i n osób.

[Dasio11]

a) chyba \(\displaystyle{ 3^n}\), gdyż każdą osobę można przydzielić do 1 z 3 grup.
b) \(\displaystyle{ 3^n-3 \cdot 2^n+3 \cdot 1^n}\) - jak wyżej, odjąć sytuację, gdzie jedna z grup jest pusta, dodać sytuację, gdzie 2 grupy są puste (które wyłączyliśmy 2 razy, więc musimy dodać raz). Takie jest moje zdanie.
Oczywiście przyjmujemy, że ludzi są rozróżnialni.

Ogólny:

a) \(\displaystyle{ k^n}\)
b) \(\displaystyle{ {k \choose 0} k^n- {k \choose 1} \cdot (k-1)^n+\ldots=\sum \limits_{a=0}^{k} (-1)^{a} {k \choose a} (k-a)^n}\)

Niech ktoś to jeszcze sprawdzi.

[miodzio1988]

a) już się nie zgadza dla \(\displaystyle{ n=1}\) . No chyba, że te grupy są jakoś oznakowane
Trzeba zatem sprecyzować zadanie.

[Artist]

a) już się nie zgadza dla \(\displaystyle{ n=1}\) . No chyba, że te grupy są jakoś oznakowane
Trzeba zatem sprecyzować zadanie.

Oczywiście grupy są rozróżnialne, powiedzmy A,B,C i \(\displaystyle{ n \ge 1 \wedge n \in N}\). Dzięki za zwrócenie uwagi.

a)Zgadza się, bo to zrobiłem jak Dasio11 i niepotrzebnie pisałem w takim razie.
b)Wygląda mi, że ok. Wiedziałem, że jest trywialne a mi wychodziły ujemne nawet

[Dasio11]

Hmmm, skoro \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\) to zawsze \(\displaystyle{ n \ge 1}\), chyba że \(\displaystyle{ 0 \in \mathbb{Z}}\)... Wiem, czepiam się 8)

P.S. Ale dla zera też do działa, pod warunkiem, że \(\displaystyle{ 0^0=1}\) ;p

Wynika z tego dość ciekawy wzór:

\(\displaystyle{ \sum \limits_{i=0}^{n} (-1)^i \cdot {n \choose i} =0}\)

[Artist]

Napisałem tak, żeby znowu nie było niejasności.

Dzięki, pozdrawiam.