Talia kart

[daniel_1024]

Witam,
czy mógłby mi ktoś pomóc rozwiązać to zadanie?

ZAD.
Z tali 52 kart losujemy 4 karty na ile sposobow mozna otrzymac:
a) układ kart wśród których są dokładnie dwie figury
b) układ kart wsriod ktorych sa trzy damy
c) karty różnych kolorów
d) karty tego samego koloru.

[Dasio11]

a) \(\displaystyle{ {4 \choose 2} \cdot {9 \choose 2}}\)

b) \(\displaystyle{ {12 \choose 1} \cdot {4 \choose 3}=48}\)

c) \(\displaystyle{ 52 \cdot 39 \cdot 26 \cdot 13=13^4 \cdot 4!}\)

d) \(\displaystyle{ 52 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}\)

Czy ważna jest kolejność losowanych kart, czy losujemy 4 naraz? Jeżeli jest ważna, w a) oraz b) należy wynik pomnożyć przez \(\displaystyle{ 4!}\). Jeśli nie jest ważna, w c) oraz d) należy podzielić wynik przez \(\displaystyle{ 4!}\)...

Najlepiej niech ktoś jeszcze sprawdzi.

[Przemas O'Black]

No-ej-no

a) spośród 16 figur losujemy 2 figury i spośród 36 nie-figur też 2 nie-figury.
\(\displaystyle{ {16 \choose 2} * {36 \choose 2}}\)

b) spośród 4 dam losujemy 3 damy a spośród 48 nie-dam losujemy 1 nie-damę
\(\displaystyle{ {4 \choose 3} * {48 \choose 1}}\)

c) spośród 13 kart koloru pierwszego losujemy 1 kartę pierwszego koloru; spośród 13 kart drugiego koloru losujemy 1 kartę drugiego koloru; spośród 13 kart trzeciego koloru losujemy 1 kartę trzeciego koloru i spośród czwartego koloru losujemy 1 kartę czwartego koloru.

13 * 13 * 13 * 13 = 28561

d) spośród 13 kart pierwszego koloru losujemy 4 karty pierwszego koloru lub spośród 13 kart drugiego koloru losujemy 4 karty drugiego koloru lub... itd.

\(\displaystyle{ {13 \choose 4} * 4}\)

[Dasio11]

a) i b) - oczywiście masz rację, talia ma 52 a nie 13 kart, 16 a nie 4 figury itd. xD
c) - jeśli kolejność kart nie ma znaczenia, to jest dobrze.
d) - wynik wychodzi ten sam (po podzieleniu mojego przez \(\displaystyle{ 4!}\), czyli kiedy kolejność nie ma znaczenia), mój sposób był taki:
Losujemy dowolną kartę (52), potem 3 tego samego koloru (12 pozostałych, potem 11 pozostałych i 10).

[czeslaw]

Dasio11, zgadza się - c) i d) zrobiłeś ok, a a) i b) prawie ok.

[Przemas O'Black]

c) - jeśli kolejność kart nie ma znaczenia, to jest dobrze.

Treść polecenia wyraźnie wskazuje na brak znaczenia kolejności losowania.

[czeslaw]

Nie, widziałem już mnóstwo zadań, w których wcale nie o to chodziło. Najlepiej zrobić tak jak napisał Dasio11 - zaznaczył, że jeśli kolejność nie ma znaczenia, to...
Zawsze tak robię od czasu, gdy "źle zrozumiałem" nieścisłą treść zadania, tak jak w tym przypadku.
"Losujemy 4 karty" nic nie oznacza - można wyciągać jednocześnie, można wyciągać po kolei.

[Przemas O'Black]

Ale nas interesuje efekt tego losowania - co z czego wylosujemy.

[Dasio11]

Zaznacza się 2 możliwości, i dla każdej robi rozwiązanie - i nie trzeba pytać, dyskutować itp, bo jest OK :] W c) faktycznie wygląda na to, że kolejność nie ma znaczenia, ale ja lubię dmuchać na zimne ;p

[Przemas O'Black]

A dlaczego Twoim zdaniem w podpunkcie d) można sobie dzielić akurat przez 4!

Jak to się ma do takiego rozumowania:

d) \(\displaystyle{ 52 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}\)

[Dasio11]

Bo podane są wszystkie możliwości ze znaczeniem kolejności kart, a więc m.in:

As kier, król kier, dama kier, walet kier.
Dama kier, as kier, walet kier, król kier.
Król kier, walet kier, as kier, dama kier.
itd...

I dla każdych 4 wybranych kart, takich powtórzeń jest \(\displaystyle{ 4!}\), a więc po podzieleniu wyjdzie nam ilość układów, w których kolejność nie ma znaczenia, czyli 3 układy podane powyżej są równe.

Do takiego rozumowania ma się to tak, że najpierw bierzemy wszystkie możliwości, a potem dzielimy przez \(\displaystyle{ 4!}\), by usunąć układy równe w przypadku, gdy kolejność kart nie ma znaczenia.

[Przemas O'Black]

Ok, czaję.

[Dasio11]

Czyli ostateczna odpowiedź dla założyciela tematu:

a) \(\displaystyle{ {16 \choose 2} \cdot {36 \choose 2}}\)

b) \(\displaystyle{ {4 \choose 3} \cdot {48 \choose 1}}\)

c) \(\displaystyle{ 13^4}\)

d) \(\displaystyle{ {13 \choose 4} \cdot 4}\)


Oraz w przypadku, kiedy kolejność kart ma znaczenie, każdy z przykładów należy pomnożyć przez \(\displaystyle{ 4!}\) (ilość permutacji każdego z wybranych cztero-elementowych układów kart).