Rzecz o liczbach Stirlinga i o pączkach chociażby

[tomasi]

Witam,
od razu uprzedzam, że trochę przeglądałem to forum, ale jakoś nie mogę znaleźć odpowiedzi.
Czemu czasami zadania robione są poprzez liczby stirlinga a czasami przez kombinację.
Chociażby to z pączkami: 12 pączków, 4 osoby by co najmniej każda osoba dostała jednego pączka.
Dlaczego \(\displaystyle{ {12-1\choose 4-1}}\) a nie S(12,4)?

Inne podobne to: 5 kurierów, 3 paczki. Na ile sposobów mogą rozwieźć paczki, skoro każdy kurier ma co najmniej jedną.
Na kolokwium rozwiązanie to S(5,3), czemu nie \(\displaystyle{ {5-1\choose 3-1}}\) ?

Jak rozdzielić 6 płyt na 4 osoby by każda osoba miała co najmniej jedną płytę.

Albo to co było na forum: komendant ma do dyspozycji 7 policjantów, ma utworzyć 3 dwuosobowe grupy, na ile sposobów może to osiągnąć.
Odpowiedź jest podana taka:
\(\displaystyle{ (\frac{6!}{2!*2!*2!}):3!}\) oczywiście razy 7. Dlaczego nie zrobić tego Stirlingiem? Jak to będzie wyglądało wtedy? S(7,2)?
Link do tematu: https://matematyka.pl/post184692.htm#p184692

Już dzisiaj mam egzamin, więc bardzo mnie to zastanawia, szczególnie, że jest to prawdopodobny temat jednego z zadań.
Z góry dzięki za wyjaśnienie.

[dramacik]

W pierwszym, tym z pączkami, trudno byłoby stosować Stirlinga, bo osoby są rozróżnialne, a pączki nie są.

[edit]
W drugim faktycznie powinno być z symbolem Newtona, bo sytuacja jest identyczna jak w tym z pączkami.

W tym z płytami też Newton, skoro płyty nie są rozróżnialne.
[/edit]

To z policjantami pewnie dałoby się Stirlingiem, ale grupy mają być dokładnie dwuosobowe, a to nie za bardzo przypomina sytuację z problemu partycjonowania zbioru.

Ogólnie, Stirling owszem, ale tam, gdzie mamy zbiór o mocy \(\displaystyle{ n}\) i chcemy go podzielić na dokładnie \(\displaystyle{ k}\) rozłącznych podzbiorów (nierozróżnialnych).

[tomasi]

Tam wkradła się mała pomyłka. 5 paczek i 3 kurierów.
Ogólnie widzę, że wszystko sprowadza się do rozróżniania:
12 pączków 4 osoby
5 paczek 3 kurierów
6 płyt 4 osoby
Nie ma napisane w zadaniu różne paczki, ani różne płyty.

Więc tak naprawdę tylko osoby są rozróżnialne, a paczki, płyty i pączki nie są. A jeśli i kurierzy i osoby nie są, to wtedy absolutnie bez Stirlinga?

Ale skoro Stirlingiem dzielimy zbiór n na k podzbiorów nierozróżnialnych, to czemu nie podzielić pączków?
Da się to jakoś łopatologicznie? Ewentualnie na innym przykładzie. Chyba nie łapię niuansów.

Aha, czyli jak będzie drugie po modyfikacji? S(5,3)?

[volv]

dramacik, a czy przypadkiem te zadanie z pączkami i z płytami CD nie jest identyczne?

Na ile sposobów można rozdać 6 płyt CD 4 osobom, zakładając, że każda osoba dostanie co najmniej jedną?
Na ile sposobów można rozdać 12 pączków 4 osobom, zakładając, że każda osoba dostanie co najmniej jednego?

I w jaki sposób stwierdzić, że coś jest "rozróżnialne"? Co to oznacza?

[dramacik]

Wyedytowałem swojego posta.

Rozróżnialne według mnie oznacza, że ma znaczenie tylko ilość elementów które przydzielimy, a nie to, które dokładnie elementy przydzielimy, np. wszystkie pączki są takie same, ale osoby nie; jeśli Celina dostanie dwa pączki, a Heniu jeden, to będzie inna sytuacja, niż gdyby Heniu dostał dwa, a Celina jeden. Przy tym z płytami założyłem, że płyty są różne, ale widocznie tak nie musi być.

Łopatologicznie, żeby zastosować liczby Stirlinga drugiego rodzaju, musimy mieć zbiór o mocy \(\displaystyle{ n}\) (w zbiorze wszystkie elementy są różne), np. zbiór płyt różnych wykonawców, zbiór różnych cyfr, zbiór różnych paczek itd. oraz pewną liczbę \(\displaystyle{ k}\) podzbiorów, np. trzy kosze, trzech kurierów. W przypadku gdy te podzbiory są różne, np. trzech kurierów, domnażamy przez \(\displaystyle{ k!}\), czyli \(\displaystyle{ S(n,k)\cdot k!}\), a gdy nie są, np. trzy takie same kosze, wtedy rozwiązaniem jest po prostu \(\displaystyle{ S(n,k)}\).

[Inkwizytor]

Dlatego najlepiej to tłumaczyć na jednokolorowych kulkach i szufladkach (ponumerowanych lub nie) wtedy już nie ma wątpliwości