ile różnych liczb z k cyfr długości n

[grzelix]

tak jak w temacie mam zadanie którym trzeba znaleźć liczbę wszystkich różnych liczb składającyc się z \(\displaystyle{ k}\) cyfr i długości \(\displaystyle{ n}\) gdzie \(\displaystyle{ k \le n}\)

Rozwiązałem po części i tak wiem że gdy \(\displaystyle{ k = n}\) to jest ich dokładnie \(\displaystyle{ n!}\)
jeśli jest więcej to to jest na pewno \(\displaystyle{ k!}\) (każda cyfr musi wystąpić przynajmniej raz) \(\displaystyle{ \cdot (n-k) ^{k}}\) (następnie dowolna cyfra z \(\displaystyle{ k}\) cyfr)

Jeszcze niewiem tylko jak policzyć różne ustawienia miejsc tych cyfr i wylkuczyć powtórzenia

Może jest na tego typu problem jakiś bardziej ogólny wzór

z góry dziękuje za wszelką pomoc

[kammeleon18]

JA bym powiedział tak:
\(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-k)!} \cdot k^{n-k}}\)
\(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-k)!}}\)<----oto na ile sposobów można wybrać pierwszych \(\displaystyle{ k}\) cyfr( tak żeby każda wystąpiła conajmniej raz)
\(\displaystyle{ k^{(n-k)}}\)<---- oto jak w pozostale \(\displaystyle{ n-k}\) miejsc wstawić \(\displaystyle{ k}\) różnych cyfr

[scyth]

Czy jest \(\displaystyle{ k}\) różnych cyfr? Bo jeśli tak, to takich liczb będzie po prostu \(\displaystyle{ \underbrace{k \cdot k \cdot \ldots \cdot k}_{\text{n razy}}=k^n}\) (oczywiście musisz uwzględnić dwa przypadki - jak wśród cyfr jest zero lub go nie ma, ale powinieneś sobie poradzić).

[dramacik]

Wydaje mi się, że chodzi o ilość różnych słów o długości \(\displaystyle{ n}\) nad alfabetem o \(\displaystyle{ k}\) elementach, takich, że każdy element występuje w słowie przynajmniej raz. I jeśli np. alfabet \(\displaystyle{ A=\{0,1,2\}}\), to rzeczy w rodzaju \(\displaystyle{ 01}\) albo \(\displaystyle{ 02}\) też się liczą.

\(\displaystyle{ \underbrace{k \cdot k \cdot \ldots \cdot k}_{\text{n razy}}=k^n}\)

Tutaj wliczane są też słowa, w których nie mamy co najmniej jednego elementu każdego rodzaju.

\(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-k)!} \cdot k^{n-k}}\)

Tutaj w ogóle dziwnie wychodzi, bo np. dla \(\displaystyle{ n=4}\) i \(\displaystyle{ k=2}\) jest \(\displaystyle{ 48}\), a nie może być więcej niż \(\displaystyle{ 16}\).

Podobny problem to problem partycji zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego na dokładnie \(\displaystyle{ k}\) podzbiorów. W tym przypadku te podzbiory to cyfry, a elementy zbioru to partycjonowania to numery pozycji, na których mogą wystąpić. Pozostaje tylko pomnożyć przez liczbę przyporządkowań cyfr na podzbiory, czyli \(\displaystyle{ k!}\).

Poszukiwana liczba jest wobec tego:
\(\displaystyle{ \genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n}{k}\cdot k!}\)
gdzie \(\displaystyle{ \genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n}{k}}\) jest liczbą Stirlinga drugiego rodzaju.

[kammeleon18]

Tak, tez sie zorientowałem że jest źle. W końcu nie ma znaczenia czy cyfrę wstawie do pierwszej grupy czy do drugiej. Mówiąc prościej, mój wzór działa jakby cyfra 5 na 10-tym miejscu różniła się od cyfry 5 na siódmym miejscu. Także jest zły.