Zbiór, podzbiory.

AdiPL · Post autor: **AdiPL** » 22 cze 2009, o 16:11

Witam. Mam problem z rozwiązaniem następującego zadania.
Niech \(\displaystyle{ A=\{ 0, 1, 2,...9\}}\). Ile jest podzbiorów zawierających nie mniej, niż 7 elementów, lecz nie zawierających 5.
Jak mam takie zadanie wyliczyć?? Wiem, że wszystkich podzbiorów jest \(\displaystyle{ 2^{10}}\), bo jest 10 elementów, a podzbiorów nie zawierających 5 jest \(\displaystyle{ 2 ^{9}}\), bo podzbiory bez liczby 5. Nie wiem jednak jak rozgryźć cytat "nie mniej niż 7 elementów". Proszę o pomoc.

kp1311 · Post autor: **kp1311** » 22 cze 2009, o 16:22

ja mam taką małą sugestie, może spróbuj policzyć ile jest podzbiorów zawierających kolejno:
7 i 8 i 9 elementów a następnie spróbuj to zsumować.

AdiPL · Post autor: **AdiPL** » 22 cze 2009, o 16:42

No to wtedy będzie \(\displaystyle{ 2^{7}+2^{8}+2^{9}}\) i taki ma być wynik??

kp1311 · Post autor: **kp1311** » 22 cze 2009, o 16:54

Czy nie masz odpowiedzi na końcu książki?
Myślę że źle to liczysz, policzyłeś sume ilości podzbiorów zbiorów 7,8 i 9 elementowych, a przecież nie o to chodzi w zadaniu.

Wskazówka: ilość pozbiorów n elementowych danego zbioru, to po prostu ilość n elementowych kombinacji tego zbioru. Spróbuj to wykorzystać i policz raz jeszcze.

AdiPL · Post autor: **AdiPL** » 22 cze 2009, o 17:10

Myślisz, że tego nie wiem? W tym rzecz, że mam odpowiedź, ale nie wiem skąd się ona wzięłą i nie wiem czy jest dobrą odpowiedzią. Niby ma być \(\displaystyle{ 2^{3}}\), ale nie wiem czy to dobry wynik. Na twoją wcześniejszą sugestię:

spróbuj policzyć ile jest podzbiorów zawierających kolejno:
7 i 8 i 9 elementów a następnie spróbuj to zsumować.

dałem odpowiedź, więc nie pisz:

Myślę że źle to liczysz, policzyłeś sume ilości podzbiorów zbiorów 7,8 i 9 elementowych

. Sam sobie zaprzeczasz w tym momencie. A jak Ty byś to zrobił?

kp1311 · Post autor: **kp1311** » 22 cze 2009, o 17:50

Ja bym to zrobił tak:
\(\displaystyle{ C_{9}^{7}= \frac{9!}{7!(9-7)!} = 36}\) - ilośc pozbiorów 7 elementowych zbioru 9-elementowego,
\(\displaystyle{ C_{9}^{8}= \frac{9!}{8!(9-8)!} = 9}\) - ilośc pozbiorów 8 elemntowych zbioru 9- elementowego
\(\displaystyle{ C_{9}^{9}= 1}\)

\(\displaystyle{ 36 + 9 + 1 = 46}\)
Odp: 46 (zakładając że mam racje )

-- 22 cze 2009, o 17:56 --

I nie przeczę sam sobie, chodziło mi o to żebyś liczył sumę ilośći podzbiorów 7,8,9 elementowych, (domyślnie zbioru \(\displaystyle{ A/{5}}\) czyli 9 elementowego. Ty policzyłeś sumę ilości podzbiorów zbiorów 7,8,9 elementowych a o to mi nie chodziło .

AdiPL · Post autor: **AdiPL** » 6 lip 2009, o 20:02

Proszę o dodatkową pomoc. Bardzo mi to potrzebne. Jak to w końcu obliczyć??

kp1311 · Post autor: **kp1311** » 7 lip 2009, o 12:44

Wszystkie obliczenia zawarłem w poście powyżej.

Spróbuję się bardziej rozpisać:
Mamy policzyć ile jest podzbiorów zbioru A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} zawierających co najmniej 7 elementów i nie zawierających 5.

Podzbiory 7,8 i 9 elementowe zbioru A nie będą zawierały 5, gdy będą podzbiorami zbioru A/5 a więc 9 elementowego. warto przy tym zauważyć że sam zbiór A/5 jest jedynym podzbiorem 9-elementowym zbioru A, który nie zawiera 5.

Teraz więc wystarczy że policzymy ile jest podzbiorów zbioru A/5 zawierających 7 i 8 elementów i dodamy do nich 1(jest tylko jeden zbiór 9-elementowy).
Podzbiory te są oczywiście odpowiednio 7 i 8 elementowymi kombinacjami zbioru A/5 czyli 9 elementowego.

Ilość kombinacji liczymy ze wzoru \(\displaystyle{ C^{k}_{n}= (^{n}_{k}) = \frac{n!}{k!(n-k)!}}\)

Ilość podzbiorów 7 elementowych zbioru A/5:
\(\displaystyle{ C^{7}_{9}= \frac{9!}{7!(9-7)!}= \frac{8 \cdot 9}{2}= \frac{72}{2} = 36}\)

Ilość podzbiorów 8 elementowych zbioru A/5:
\(\displaystyle{ C^{8}_{9} = \frac{9!}{8! \cdot 1!} = 9}\)

Pamiętamy o tym sam zbiór A/5 jest jednym pozdbiorem 9-elementowym zbioru A który nie zawiera 5.

Teraz wszystko sumujemy:
\(\displaystyle{ 36+9+1 = 46}\)

Odp: Istnieje 46 podzbiorów zbioru A={1,2,3,...,9} które zawierają co najmniej 7 elementów i nie zawierają przy tym {5}.

Pozdrawiam.

AdiPL · Post autor: **AdiPL** » 7 lip 2009, o 12:54

Rozumiem, że jesteś pewien swojej odpowiedzi??

kp1311 · Post autor: **kp1311** » 7 lip 2009, o 13:00

Na chwilę obecną nie jestem w stanie udzielić innej.

AdiPL · Post autor: **AdiPL** » 7 lip 2009, o 13:02

Dobrze. Mam nadzieję, że to dobrze. Dzięki za pomoc w takim bądź razie.