Rónanie charakterystyczne

[Farokles]

Mam takie zadanie.

\(\displaystyle{ a_1=0, a_2=1, a_{n+2}= \frac{a_n+a_{n+1}}{2}}\)

oczywiście trzeba znaleźć znaleźć jawny wzór tego ciągu.

Rozwiązałem to zadanie kilka krotnie. Już byłem przekonany że jest dobrze ale to nie prawda coś tutaj nie gra. Nie pasuje mi to że mam podane \(\displaystyle{ a_1}\) i \(\displaystyle{ a_2}\) a nie \(\displaystyle{ a_0}\) i \(\displaystyle{ a_1}\). A właśnie to ma wpływ później na potęgę jaka znajdzie się przy x1 i x2. Męczę się z tym zadaniem już z 4 godziny jak nie więcej. Będę tak masakrycznie wdzięczny za rozwiązanie go.-- 12 czerwca 2009, 21:15 --Bardzo przepraszam jednak dobrze rozwiązałem.

\(\displaystyle{ r^2= \frac{1}{2}r+ \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ r_1= -\frac{1}{2}, r_2=1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 = - \frac{1}{2}^1A+1^1B \\
1 = -\frac{1}{2}^2A +1^2B \end{cases}}\)

stąd wychodzi że:

\(\displaystyle{ A= \frac{4}{3}, B = \frac{2}{3}}\)

a jawny wzór funki wygląda tak:

\(\displaystyle{ a_n= \frac{4}{3}( -\frac{1}{2} )^n+ \frac{2}{3}(1)^n}\)

Co można sprawdzić próbując policzyć \(\displaystyle{ a_3}\) wzorem ogólnym z początku posta i wzorem jawnym który jest linijkę wyżej.

Mam nadzieję że przyda się to komuś.

No i sprawdźcie może lepiej jeszcze czy dobrze, jak nie to serio wyskoczę przez okno

ps. proszę Administratora o dodanie mi punktu sam sobie pomogłem

[mcbob]

Nie pasuje mi to że mam podane \(\displaystyle{ a_1}\) i \(\displaystyle{ a_2}\) a nie \(\displaystyle{ a_0}\) i \(\displaystyle{ a_1}\)

A co to za problem policzyć sobie \(\displaystyle{ a _{0}}\)

\(\displaystyle{ a _{2}= \frac{a _{0} +a _{1} }{2}}\)

\(\displaystyle{ a _{0}=2}\)