Równanie charakterystyczne

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Farokles
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 9 wrz 2008, o 18:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nibylandia
Podziękował: 50 razy

Równanie charakterystyczne

Post autor: Farokles »

Zadanie brzmi tak:

Pokazać, że wyrazy ciągu Fibonacciego można przedstawić w postaci

\(\displaystyle{ a _{n}= \frac{(1+ \sqrt{5})^n - (1- \sqrt{5})^n } {2^n \sqrt{5} }}\)

Mam to zadanie "rozwiązane" w moich notatkach ale okropnie to wygląda i nie rozumiem o co chodzi. Wydaje mi się że muszę zastosować metodę równań charakterystycznych. Właśnie o niej czytam lecz trudno mi to przełożyć na ten przykład.

W ciągu Fibonacciego 3-ci wyraz ciągu to suma 1-go i 2-go wyrazu tego ciągu, teraz zdaje się że muszę zastosować właśnie to do równania charakterystycznego. Staram się to rozwiązać ale coś mi nie idzie będę bardzo wdzięczny za pomoc.
abc666

Równanie charakterystyczne

Post autor: abc666 »

25578.htm

u nas równanie charakterystyczne ma postać

\(\displaystyle{ x^2=x+1}\)

powiedz którego momentu nie rozumiesz
Farokles
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 9 wrz 2008, o 18:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nibylandia
Podziękował: 50 razy

Równanie charakterystyczne

Post autor: Farokles »

Tak wiem już wcześniej tam zaglądałem. Nie wiem czy dobrze to robię

\(\displaystyle{ a_{n+2} = Aa_{n}+Ba_{n+1}}\)

policzę sobie x ( czy jak jest w moich notatkach r)

\(\displaystyle{ a_{n}=x^n}\)

\(\displaystyle{ x^{n+2}=Bx^{n+1}+Ax^n}\)

W moim przypadku A i B są równe 1 prawda? Bo to ciąg Fibonacciego. Dlatego pominę je dalej.

\(\displaystyle{ x^n(x^2-x-1)=0}\)

teraz liczę deltę która jest równa

\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{1+ \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{1- \sqrt{5}}{2}}\)

Właśnie coś mi się wydaje że A i B nie mogę pominąć tak jak napisałem wyżej prawda? Tego właśnie nie rozumiem. Obliczyłem sobie x1 i x2 dlatego teraz powinienem wrócić do tej postaci

\(\displaystyle{ x^{n+2}=Bx^{n+1}+Ax^n}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ r^{n+2}=B\frac{1+ \sqrt{5}}{2}+A\frac{1- \sqrt{5}}{2}}\)

teraz muszę doprowadzić to do postaci takiej jak w pierwszym poście tylko też nie wiem jak to po przekształcać?

Taki jest tok mojego rozumowania popraw mnie proszę w miejscach gdzie nie mam racji. A gdzie nie jestem czegoś pewny to wytłumacz proszę
inzbartosz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 11 cze 2009, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Równanie charakterystyczne

Post autor: inzbartosz »

Farokles pisze:Tak wiem już wcześniej tam zaglądałem. Nie wiem czy dobrze to robię

\(\displaystyle{ a_{n+2} = Aa_{n}+Ba_{n+1}}\)
tutaj nie ma A i B, bo ciag Fibonacciego ma postac po prostu
\(\displaystyle{ a_{n+2} = a_{n}+a_{n+1}}\)

z tego tworzymy równanie charakterystyczne, czyli za a wstawiamy r, a indeks staje sie potęgą:
\(\displaystyle{ r^{n+2} = r^{n}+r^{n+1}}\)
dzielimy obie strony przez \(\displaystyle{ r^{n}}\)
i mamy:
\(\displaystyle{ r^{2} = r^{0}+r^{1}}\)
rozwiazujac to rownanie otrzymasz 2 pierwiastki \(\displaystyle{ r_{1}}\) i \(\displaystyle{ r_{2}}\)

i teraz nie wracasz do rownania charakterystycznego, tylko tworzysz wzor na wyraz dowolny, bez potrzeby znania wartosci poprzednich, czyli
\(\displaystyle{ a_{n}=A r_{1}^{n} + B r_{2}^{n}}\)
teraz podstawiasz wartosci, ktore znacz, czyli 112358..., ale wystarcza tylko 2 i na tej podstawie otrzymasz wartosci A i B, ktore podstawiasz do powyzszego wzoru i koniec zadania. Jakby cos bylo nadal niejasne, to pisz
ODPOWIEDZ