Na płaszczyźnie

Zychutsw · Post autor: **Zychutsw** » 7 cze 2009, o 16:05

Na płaszczyźnie zaznaczono n punktów, z których dowolne trzy nie są współliniowe. Ile punktów narysowano, jeśli wyznaczyły one 36 prostych??
Bardzo prosze o rozwiązanie i jakies wytłumaszenie tego

Szemek · Post autor: **Szemek** » 7 cze 2009, o 16:17

Bez straty ogólności przyjmijmy, że punkty tworzą n-kąt foremny.
Liczba wszystkich odcinków łączących każde dwa punkty wynosi \(\displaystyle{ \binom{n}{2}}\)
Przedłużając odcinki w nieskończoność - otrzymujemy proste.

\(\displaystyle{ \binom{n}{2} = 36 \\
\frac{n(n-1)}{2} = 36 \\
n(n-1) = 72 \\
n = 9}\)

darlove · Post autor: **darlove** » 7 cze 2009, o 16:18

Zychutsw pisze:Na płaszczyźnie zaznaczono n punktów, z których dowolne trzy nie są współliniowe. Ile punktów narysowano, jeśli wyznaczyły one 36 prostych??
Bardzo prosze o rozwiązanie i jakies wytłumaszenie tego

Skoro zadne 3 nie sa wspolliniowe, to wybranie dowolnych 2 wyznacza jednoznacznie prosta rozna od innych prostych. Ile jest mozliwosci wyboru 2 punktow z n? Ano \(\displaystyle{ {n\choose 2}.}\) Wobec tego \(\displaystyle{ {n\choose 2}=36=\frac{n(n-1)}{2}.}\) A to jest rownanie kwadratowe wzgledem n, ktore potrafisz rozwiazac...