Trochę kombinatorycznej rozrywki

Tomcat · Post autor: **Tomcat** » 25 maja 2009, o 21:56

Ostatnimi czasy miałem do czynienia z kilkoma książkami w temacie i chciałbym podzielić się, narazie dwoma zadankami (z czasem będe dodawał kolejne). Miłego rozwiązywania

zad. 1
Na ile sposobów można wybrać delegację spośród siedmiu kobiet i czterech mężczyzn składającą się z takiej samej liczby kobiet i mężczyzn.

zad. 2
Mamy osiem różnych książek angielskich, siedem niemieckich i pięć polskich. Na ile sposobów można ustawić w rzędzie trzy spośród tych książek?

lina2002 · Post autor: **lina2002** » 25 maja 2009, o 22:15

1. Trzeba zrobić 4 przypadki: delagacja dwuosobowa, czteroosobowa, sześcioosobowa i ośmioosobowa. Np. dla dwuosobowej będzie \(\displaystyle{ 4 \cdot 7}\) możliwości (wybiersz jednoą kobietę i jednego mężczyznę), dla czteroosobowej \(\displaystyle{ {4 \choose 2} \cdot {7 \choose 2}}\) itd.
2. To chyba znaczy, że 7 książek niemieckich jest takich samych i 5 polskich takich samych, bo gdyby wszystkie były różne, to byłoby po prostu \(\displaystyle{ 20 \cdot 19 \left \cdot 18}\) sposobów. Jesli tak to rzeba by było zrobic przypadki:
-same kiązki angielskie \(\displaystyle{ 8 \cdot 7 \cdot 6}\) możliwości
-2 ang. i 1 w innym języku \(\displaystyle{ 2 \cdot 3}\) (wybieramy język trzeciej ksiązki i miejsce gdzie stoi)
-1 ang. i 2 w innym języku - spróbuj sam
-3 w innym niż angielski języku.

Tomcat · Post autor: **Tomcat** » 26 maja 2009, o 20:09

Co do pierwszego to ok, co do drugiego to miałem podobne wątpliwości. A jaki wynik Ci ostatecznie wyszedł?

PS. Zachęcam innych do zamieszczania ciekawych zadań z kombinatoryki

lina2002 · Post autor: **lina2002** » 26 maja 2009, o 23:21

Wyszło mi \(\displaystyle{ 336+6+12+8=362}\)

Tomcat · Post autor: **Tomcat** » 27 maja 2009, o 01:12

Mi wyszło podobnie, a jednak w odpowiedziach do zadania jest podane: 6840

lina2002 · Post autor: **lina2002** » 27 maja 2009, o 01:19

Czyli jednak nie trzeba było nadmiernie utrudniac sobie życia i przyjąc po prostu, że wszystkie książki są różne.

Tomcat · Post autor: **Tomcat** » 27 maja 2009, o 12:18

Dokładnie zakręcić można było się tylko przy samym pytani, które było dość niejasno zadane.

Ok to pora na kolejne zadanie ode mnie :
Na ile sposobów można rozmieścić cztery identyczne pomarańcze i sześć różnych jabłek (każde innego gatunku) w pięciu różnych skrzyniach?

lina2002 · Post autor: **lina2002** » 27 maja 2009, o 13:35

Tomcat pisze: Na ile sposobów można rozmieścić cztery identyczne pomarańcze i sześć różnych jabłek (każde innego gatunku) w pięciu różnych skrzyniach?

Zakładam, ze moga zostać puste skrzynie, bo nie ma nic o tym w zadaniu napisane. Najpierw rozmieszczam jabłka na \(\displaystyle{ 5^{6}}\) sposobów (pierwsze jabłko umieszczam w jednej z sześciu skrzyń, drugie w jednej z sześciu itd.). Liczba sposobów rozmieszczenia czterech identycznych pomarańczy w pięciu różnych skrzyniach będzie równa liczbie kombinacji 4-elementowych z powtórzeniami zbioru 5-elementowego (w razie wątpliwości patrz: kombinacje z powtórzeniami na Wikipedii), czyli \(\displaystyle{ {4+5-1 \choose 4}}\). Teraz wytarczy skorzytać z reguły mnożenia i gotowe .

Tomcat · Post autor: **Tomcat** » 28 maja 2009, o 09:50

Dokładnie jest \(\displaystyle{ 70 \cdot 5^6}\) taki ułożeń.

Teraz pora, żeby kto inny dał jakieś ciekawe zadanie