Rzuty kostką. Rozpatrywanie zdarzeń

[rafklu77]

Rzucamy dwa razy kostką. Rozpatrzmy zdarzenia: \(\displaystyle{ A}\) - pierwsza wyrzucona liczb a jest nie mniejsza od drugiej, \(\displaystyle{ B}\) - wsród wyrzuconych liczb jest liczba parzytsa i nieparzysta. Wypisz wyniki sprzyjajace zdarzeniom \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B'}\). Sprawdź czy zachodzą zależności: \(\displaystyle{ A \cup B = \Omega, \ \ \ A' \cup B=B, \ \ \ A \setminus B=B', \ \ \ B' \subset A.}\) Prosiłbym o dokładne rozpisanie zadań

[loitzl9006]

nie mniejsza = większa lub taka sama
żeby spełniać zdarzenie \(\displaystyle{ A'}\) pierwsza liczba na kostce musi być mniejsza od drugiej liczby.

zdarzenia sprzyjające \(\displaystyle{ A' : \left( 1,6 \right) , \left( 1,5 \right) , \left( 1,4 \right) , \left( 1,3 \right) , \left( 1,2 \right) , \left( 2,6 \right) , \left( 2,5 \right) , \left( 2,4 \right) , \left( 2,3 \right) , \left( 3,6 \right) , \left( 3,5 \right) , \left( 3,4 \right) , \left( 4,6 \right) , \left( 4,5 \right) , \left( 5,6 \right) .}\) Łącznie \(\displaystyle{ 15}\) zdarzeń.

\(\displaystyle{ B'}\) - na kostkach muszą wypaść 2 liczby parzyste lub 2 liczby nieparzyste
zd. sprzyj. \(\displaystyle{ B'}\) :
\(\displaystyle{ \left( 1,1 \right) , \left( 1,3 \right) , \left( 1,5 \right) , \left( 2,2 \right) , \left( 2,4 \right) , \left( 2,6 \right) , \left( 3,1 \right) , \left( 3,3 \right) , \left( 3,5 \right) , \left( 4,2 \right) , \\ \left( 4,4 \right) , \left( 4,6 \right) , \left( 5,1 \right) , \left( 5,3 \right) , \left( 5,5 \right) , \left( 6,2 \right) , \left( 6,4 \right) , \left( 6,6 \right)}\)
Łącznie \(\displaystyle{ 18}\) zdarzeń.

\(\displaystyle{ \Omega= 6^{2} = 36 \\ \\ A + A' = \Omega \\ A = \Omega - A' = 36 - 15 = 21 \\ \\ B + B' = \Omega \\ B = \Omega - B' = 36 - 18 = 18}\)

zdarzenia sprzyjające \(\displaystyle{ A:}\)
\(\displaystyle{ \left( 1,1 \right) , \left( 2,1 \right) , \left( 2,2 \right) , \left( 3,1 \right) , \left( 3,2 \right) , \left( 3,3 \right) , \left( 4,1 \right) , \left( 4,2 \right) , \left( 4,3 \right) , \\ \left( 4,4 \right) , \left( 5,1 \right) , \left( 5,2 \right) , \left( 5,3 \right) , \left( 5,4 \right) , \left( 5,5 \right) , \left( 6,1 \right) , \left( 6,2 \right) , \left( 6,3 \right) , \left( 6,4 \right) , \left( 6,5 \right) , \left( 6,6 \right)}\)
razem \(\displaystyle{ 21}\)

zdarzenia sprzyjające \(\displaystyle{ B:}\)
\(\displaystyle{ \left( 1,2 \right) , \left( 1,4 \right) , \left( 1,6 \right) , \left( 2,1 \right) , \left( 2,3 \right) , \left( 2,5 \right) , \left( 3,2 \right) , \left( 3,4 \right) , \left( 3,6 \right) , \left( 4,1 \right) , \left( 4,3 \right) , \\ \left( 4,5 \right) , \left( 5,2 \right) , \left( 5,4 \right) , \left( 5,6 \right) , \left( 6,1 \right) , \left( 6,3 \right) , \left( 6,5 \right)}\)
razem \(\displaystyle{ 18}\)

\(\displaystyle{ A \cap B: \left( 2,1 \right) , \left( 3,2 \right) , \left( 4,1 \right) , \left( 4,3 \right) , \left( 5,2 \right) , \left( 5,4 \right) , \left( 6,1 \right) , \left( 6,3 \right) , \left( 6,5 \right) .}\)
razem \(\displaystyle{ 9}\)

\(\displaystyle{ A \cup B = A + B \ \left( A \cap B \right) = 21+18 - 9 = 30}\) więc jest różne od omegi
nieprawda

\(\displaystyle{ A' \cup B = B}\) to jest nieprawda, bo są takie elementy, które należą do \(\displaystyle{ A'}\) a nie należą do \(\displaystyle{ B}\), np. \(\displaystyle{ \left( 1,5 \right)}\)

\(\displaystyle{ A \setminus B=B'}\) wychodzi, że prawda

\(\displaystyle{ B'}\) nie może być podzbiorem \(\displaystyle{ A}\) bo da się znaleźć taki element ze zbioru \(\displaystyle{ B'}\) którego nie ma w \(\displaystyle{ A}\), np. \(\displaystyle{ \left( 2,4 \right)}\)

sprawdź mnie, bo mogłem zrobić jakiś głupi błąd lub przeoczyć coś, starałem się wytłumaczyć najlepiej, jak się da

[Prezes Janek]

\(\displaystyle{ A \setminus B = B'}\) Ta zależność nie zachodzi, ponieważ niektóre elementy takie jak \(\displaystyle{ (1,1) (1,3)}\) należą do zbioru \(\displaystyle{ A}\), ale w zbiorze \(\displaystyle{ B'}\) ich nie ma

[loitzl9006]

Masz rację, ta zależność nie będzie zachodziła. Dobrze że zauważyłeś, lepiej późno niż wcale .

niektóre elementy takie jak (1,1) (1,3) należą do zbioru A, ale w zbiorze B' ich niema

Tutaj się mylisz, element \(\displaystyle{ \left( 1,3\right)}\) nie należy do zbioru \(\displaystyle{ A}\) (pierwsza cyfra mniejsza od drugiej),
zaś w zbiorze \(\displaystyle{ B'}\) będą elementy \(\displaystyle{ (1,1), (1,3)}\) (w tych dwóch przypadkach nie jest spełniony warunek występowania jednocześnie liczby parzystej i nieparzystej, więc od razu przyporządkowujemy te elementy do zbioru \(\displaystyle{ B'}\)).

Można podać kontrprzykład w postaci elementu \(\displaystyle{ (3;5)}\) - element ten nie należy do \(\displaystyle{ A}\) (więc tym bardziej nie należy do \(\displaystyle{ A \setminus B}\) ) , zaś należy do \(\displaystyle{ B'}\). Stąd wiadomo że zbiory: \(\displaystyle{ A \setminus B}\) oraz \(\displaystyle{ B'}\) nie są równe.