(1+x)^n - metoda wyboru

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
desertangel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 5 maja 2008, o 15:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gumiland

(1+x)^n - metoda wyboru

Post autor: desertangel »

Ile razy otrzymamy \(\displaystyle{ x^k}\) w rozwinieciu \(\displaystyle{ (1+x)^n}\)?
Odpowiedź do tego to \(\displaystyle{ {n \choose k}}\). Opisano, iż jest to wybór x dokładnie z k nawiasów spośród n. Mozna to przetłumaczyć bardziej obrazowo?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

(1+x)^n - metoda wyboru

Post autor: Dasio11 »

Wynika to bezpośrednio z dwumianu Newtona:

\(\displaystyle{ (a+b)^n= {n \choose 0} a^n+ {n \choose 1} a^{n-1}b^1+...+ {n \choose k}a^{n-k}b^k+...+ {n \choose n-2}a^2b^{n-2}+ {n \choose n-1} ab^{n-1}+ {n \choose n}b^n}\)

Bardziej obrazowo: jak masz

\(\displaystyle{ (a+1)^n=\underbrace{(a+1)(a+1)...(a+1)}_{n \ razy}}\) to współczynnik stojący przy \(\displaystyle{ a^k}\) dla każdego \(\displaystyle{ k\in \mathbb{N}}\) oraz oczywiście \(\displaystyle{ k\le n}\) jest liczbą możliwości, gdzie spośród nawiasów "wybierasz" : \(\displaystyle{ k}\) razy:\(\displaystyle{ a}\), oraz \(\displaystyle{ n-k}\) razy - 1 i mnożysz. A więc współczynnik ten równy jest ilości możliwych wyborów \(\displaystyle{ k}\) elementów spośród zbioru zawierającego \(\displaystyle{ n}\) elementów, czyli permutacji, których ilość określa się \(\displaystyle{ {n \choose k}}\).
Ostatnio zmieniony 24 maja 2009, o 22:06 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
desertangel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 5 maja 2008, o 15:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gumiland

(1+x)^n - metoda wyboru

Post autor: desertangel »

W jaki sposób odbywa się ten wybór ?
Ps. Wzór Newtona daje mi możliwość obliczenia współczynników. Nie obrazuje w jaki sposób odbywa się wybór.

Pps. Powyższe nieważne. Nie widziałem daleszej cześći posta.
ODPOWIEDZ