Przeksztalcenie sumy

wolk · Post autor: **wolk** » 17 maja 2009, o 21:29

W matematyce konkretnej na stronie 109 trafilem na takie przeksztalcenie sumy
\(\displaystyle{ \sum_{0 \leq k < a^2}\sum_{1 \leq j \leq \sqrt{k}} 1 = \sum_{1 \leq j < a} \sum_{j^2 \leq k < a^2}1}\)
niestety autor nie opisal jak tego przeksztalcenie dokonal. Czy sa jakies zasady, ktore umozliwiaja
"mechaniczne" dokonanie takiego przeksztalcenie krok po kroku?
Oczywiscie oprocz tego, ze rozwiazanie mozna "zauważyć"

P.S notacja orginalnie zapisana byla za pomoca nawiasow iversona ale nie wiem jak popularna jest ta notacja, wiec
zamienilem na standardowa sume. Jak by ktos chcial miec w orginale to to co jest pod znakami sumy nalezy
przeniesc do nawiasow iversona i sumowac po wszystkich j,k

-- 17 maja 2009, o 22:52 --

Pytanie mozna zadac tez inaczej. Jakich przeksztalcen nalezy dokonac aby uklad nierownosci
\(\displaystyle{ 0 \leq k < a^2}\)
\(\displaystyle{ 1 \leq j \leq \sqrt{k}}\)
byl rownowazny temu
\(\displaystyle{ 1 \leq j < a}\)
\(\displaystyle{ j^2 \leq k < a^2}\)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 17 maja 2009, o 23:02

Nawiasów Iversona nie znam, ale trochę te sumy oszukane, bo ile składników jest w drugiej sumie jeśli k=2?

No, ale pomijając kwestie formalne zapisu to to jest po prostu zadanie geometryczne, a konkretnie: jak mając parametryzację obszaru normalną względem jednej zmiennej (tutaj: względem k, bo k jest w stałych granicach, a j w zmiennych) zrobić ją normalną względem drugiej (czyli na odwrót - mieć j w stałych granicach, a k w zmiennych)?
Narysuj sobie obszar zadany tymi nierównościami na płaszczyźnie, to się wyjaśni.

Pozdrawiam.