tworzenie liczby z cyfr innej liczby, schemat wyboru

[frej]

Mamy daną liczbę (ciąg) \(\displaystyle{ A=\overline{a_1 a_2 \ldots a_n}}\) gdzie \(\displaystyle{ a_i \in \{ x_1, x_2, \ldots, x_k \}}\) ( mogą to być liczby, ale niekoniecznie ).
Niech
\(\displaystyle{ f : \{ x_1, x_2, \ldots x_k \} \to \{ 1,2,3,\ldots , n \}}\)
\(\displaystyle{ f(x_i)}\) - liczba występowań "cyfry" \(\displaystyle{ x_i}\) w ciągu \(\displaystyle{ A}\)

Chcemy wyznaczyć liczbę ciągów ( liczb ) \(\displaystyle{ p}\)-wyrazowych ciągów \(\displaystyle{ B=\overline{b_1 b_2 \ldots b_p}}\) takich, że \(\displaystyle{ \{ b_1, b_2, \ldots , b_p \} \subseteq \{ a_1, a_2, \ldots , a_n\}}\)

Można jeszcze zrobić tak, że \(\displaystyle{ b_1 \neq 0}\), jeśli operujemy na liczbach.

Przykład

Ile liczb trzycyfrowych da się utworzyć z cyfr liczby \(\displaystyle{ 1234}\) ?
Mała liczba więc można wypisać wszystkie opcje
\(\displaystyle{ 123,134,124,234}\) + permutacje, czyli odpowiedzią jest \(\displaystyle{ 24}\).

Jak jest w ogólniejszym przypadku?

Dopiero się zaczynam w to bawić, ale potrzeba chyba policzyć taką sumę

\(\displaystyle{ \sum_{t_1+t_2+\ldots + t_n=p} {p \choose t_1, t_2, \ldots , t_n}}\)
przy ograniczeniach \(\displaystyle{ 0 \le t_i \le f(x_i)}\)

Ale nie wiem jak to pociągnąć kombinatorycznie...

Mam w zasadzie zrobić przykład:
Z liczby \(\displaystyle{ 65572222}\) obliczyć liczby pięciocyfrowe,

ale zastanawia mnie generalizacja. Niestety od ręki nie jestem w stanie zrobić nawet szczególnego przypadku bez liczenia "na palcach" czyli obliczania kolejnych współczynników wielomianowych

Być może potrzeba trochę wiedzy, której jeszcze nie posiadam lub pomysłu, na który nie mogę wpaść ( może za krótko myślałem a może i tak bym nie wpadł ).

[frej]

Trochę czasu minęło, a nikt nie odpowiedział. Wydaje mi się, że jest to dość ciekawy problem mianowicie wrzucania rozróżnialnych obiektów do rozróżnialnych szuflad, przy czym do każdej szuflady można wrzucić maksymalnie pewną z góry określoną liczbę obiektów. Może teraz ktoś wie, jak to zrobić?

[Zordon]

tamten przykład załatwia się z zasady włączeń i wyłączeń, a ogólnie problem jest niełatwy, z tego co pamietam to jest o nim co nieco w książce Fellera.

[frej]

Dzięki za pomoc:) O metodzie włączeń i wyłączeń zaraz sobie poczytam, nie słyszałem o książce Fellera, więc nie mogę sobie uzmysłowić jak trudny jest ten problem