Takie zadanko:
\(\displaystyle{ {n\choose 1}+2{n\choose 2}+3{n\choose 3}+...+(n-1){n\choose n-1}+n{n\choose n}=
n2^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ (1+n)^n=n2^{n-1}}\)
I mam problem bo trzeba to przekształcić, nie wiem może powinienem to wrzucić do innego działu ale niech będzie tutaj. Bardzo proszę o pomoc.
Wzór Newtona
- alchemik
- Użytkownik
- Posty: 285
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 65 razy
Wzór Newtona
Skorzystaj z:
\(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n-k}}\)
Pozamieniaj odpowiednie wyrazy otrzymasz drugie równanie, potem dodaj stronami i pokombinuj.
\(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n-k}}\)
Pozamieniaj odpowiednie wyrazy otrzymasz drugie równanie, potem dodaj stronami i pokombinuj.
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
Wzór Newtona
\(\displaystyle{ {n\choose 1}+2{n\choose 2}+3{n\choose 3}+...+(n-1){n\choose n-1}+n{n\choose n}={n\choose 1}+2{n\choose 2}+3{n\choose 3}+...+(n-1){n\choose 1}+n{n\choose 0}=\frac{n}{2} ({n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 2}+...+{n\choose n-1}+{n\choose n})=\frac{n}{2}\cdot (1+1)^{n}=\frac{n}{2}\cdot 2^{n}=n2^{n-1}}\)
- alchemik
- Użytkownik
- Posty: 285
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 65 razy
Wzór Newtona
Oznaczmy S jako szukaną sumę:
\(\displaystyle{ 0{n\choose 0} + 1{n\choose 1}+2{n\choose 2}+3{n\choose 3}+...+(n-1){n\choose n-1}+n{n\choose n}=S \\ 0{n\choose n}+{n\choose n-1}+2{n\choose n-2}+3{n\choose n-3}+...+(n-1){n\choose 1}+n{n\choose 0}=S \\}\)
Teraz dodaję obustronnie stronami:
\(\displaystyle{ n({n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 2}+{n\choose 3}+...+{n\choose n-1}+{n\choose n})=2S \\ 2^{n} \cdot n=2S \\ S=2^{n-1} \cdot n}\)
\(\displaystyle{ 0{n\choose 0} + 1{n\choose 1}+2{n\choose 2}+3{n\choose 3}+...+(n-1){n\choose n-1}+n{n\choose n}=S \\ 0{n\choose n}+{n\choose n-1}+2{n\choose n-2}+3{n\choose n-3}+...+(n-1){n\choose 1}+n{n\choose 0}=S \\}\)
Teraz dodaję obustronnie stronami:
\(\displaystyle{ n({n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 2}+{n\choose 3}+...+{n\choose n-1}+{n\choose n})=2S \\ 2^{n} \cdot n=2S \\ S=2^{n-1} \cdot n}\)