Wzór Newtona

[Farokles]

Takie zadanko:

\(\displaystyle{ {n\choose 1}+2{n\choose 2}+3{n\choose 3}+...+(n-1){n\choose n-1}+n{n\choose n}=
n2^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ (1+n)^n=n2^{n-1}}\)

I mam problem bo trzeba to przekształcić, nie wiem może powinienem to wrzucić do innego działu ale niech będzie tutaj. Bardzo proszę o pomoc.

[alchemik]

Skorzystaj z:
\(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n-k}}\)

Pozamieniaj odpowiednie wyrazy otrzymasz drugie równanie, potem dodaj stronami i pokombinuj.

[Farokles]

Nie bardzo mi to pomogło, nie potrafię popatrzeć na to tak jak ty

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ {n\choose 1}+2{n\choose 2}+3{n\choose 3}+...+(n-1){n\choose n-1}+n{n\choose n}={n\choose 1}+2{n\choose 2}+3{n\choose 3}+...+(n-1){n\choose 1}+n{n\choose 0}=\frac{n}{2} ({n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 2}+...+{n\choose n-1}+{n\choose n})=\frac{n}{2}\cdot (1+1)^{n}=\frac{n}{2}\cdot 2^{n}=n2^{n-1}}\)

[alchemik]

Oznaczmy S jako szukaną sumę:
\(\displaystyle{ 0{n\choose 0} + 1{n\choose 1}+2{n\choose 2}+3{n\choose 3}+...+(n-1){n\choose n-1}+n{n\choose n}=S \\ 0{n\choose n}+{n\choose n-1}+2{n\choose n-2}+3{n\choose n-3}+...+(n-1){n\choose 1}+n{n\choose 0}=S \\}\)

Teraz dodaję obustronnie stronami:
\(\displaystyle{ n({n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 2}+{n\choose 3}+...+{n\choose n-1}+{n\choose n})=2S \\ 2^{n} \cdot n=2S \\ S=2^{n-1} \cdot n}\)