Kongruencje,udowodnic

[aska17]

Udowodnić,że jeśli \(\displaystyle{ a\equiv b(mod m)}\) oraz \(\displaystyle{ c\equiv d(mod m)}\),to \(\displaystyle{ (a+c)\equiv(b+d)(mod m)}\) oraz \(\displaystyle{ (a-c) \equiv (b-d)(mod m)}\).


dzieki

[frej]

\(\displaystyle{ x \equiv y \pmod{z} \Leftrightarrow z|x-y}\)

tyle wystarczy, żeby to rozwiązać

[Jerzy_q]

Wykażmy najpierw, że jeśli \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{p}}\), to \(\displaystyle{ a+c \equiv b+c \pmod{p}}\).
Własność \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{p}}\) oznacza, że liczba \(\displaystyle{ a-b}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\). A zatem liczba \(\displaystyle{ (a+c)-(b+c)=a-b}\) jest także podzielna przez \(\displaystyle{ p}\). Stąd \(\displaystyle{ a+c \equiv b+c \pmod{p}}\).

Korzystając z kongruencji \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{p}, c \equiv d \pmod{p}}\) oraz z własności twierdzenia wyżej uzyskujemy \(\displaystyle{ a+c \equiv b+c \pmod{p}, b+c \equiv b+d \pmod{p}}\). Wykorzystując tę uwagę otrzymujemy \(\displaystyle{ a+c \equiv b+d \pmod{p}}\)

[aska17]

Czyli
\(\displaystyle{ (a+c)-(b+c)=km,k\in Z}\)
\(\displaystyle{ (b+c)-(b+d)=lm,l\in Z}\)
Dodajemy stronami i mamy
\(\displaystyle{ (a+c)-(b+d)=(k+l)m}\)

tak?

A przechodniosc:
\(\displaystyle{ a \equiv b(modm)}\) i \(\displaystyle{ b \equiv c(modm)}\)
wynika,że:
\(\displaystyle{ a \equiv c(modm)}\)

mamy:
\(\displaystyle{ a-b=km,k \in Z}\)
\(\displaystyle{ b-c=lm,l\in Z\\
b=a-km\\
a-km-c=lm \\
a-c=(k+l)m}\)
To jest dobrze?