Równania diofantyczne z ograniczeniami. Matematyka dyskretna

[Iwonia]

Witajcie!

Proszę Was o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Określić liczbę rozwiązań równania diofantycznego z ograniczeniami:

\(\displaystyle{ a+b+c+d=j}\)
gdzie: \(\displaystyle{ a, b, c, d, j \in Z}\)
\(\displaystyle{ a < 1}\)
\(\displaystyle{ b \le -1}\)
\(\displaystyle{ c \in [-1,0]}\)
\(\displaystyle{ d \in \{-2,-1,0\}}\)
w zależności od parametru \(\displaystyle{ j}\).

W miarę możliwości proszę o rozwiązanie oraz o wszelkie linki do materiałów na ten temat dostępnych w internecie. Niewiele mogę znaleźć na ten temat, choć zagadnienie wydaje mi się być interesującym.

Z góry bardzo dziękuję za pomoc.

[BettyBoo]

Można to zadanie rozwiązać geometrycznie. Ponieważ c i d mają pewien skończony zbiór wartości, to ich suma jest tylko jedną ze skończonej ilości liczb - w tym przypadku całkowita między -3 a 0. Zatem rozwiązujemy równocześnie 4 równania, a rozwiązanie wyjściowego problemu to będzie suma rozwiązań każdego z nich.

No to teraz geometria: a=x, b=y i pytanie brzmi ile punktów o współrzędnych całkowitych leży na 4 prostych postaci x+y=j+k, dla k=0,1,2,3 wewnątrz zadanego obszaru w zależności . Łatwo ustalić, ile leży na jednej prostej postaci x+y=t, reszta to rozpisywanie przypadków.

Pozdrawiam.

[karola1989]

mogłby ktos to bardziej wyjasnic ??

[Iwonia]

Tylko to chyba nie do końca chodzi o to co w tej odpowiedzi.

Rozwiązanie tego zadania polega na znalezieniu odpowiednich funkcji tworzących, a później splotu ciągów - iloczynu postaci zwartych tych funkcji tworzących.

Oczywiście na tym nie koniec, bo trzeba podać ilość rozwiązań.

Niestety ja nie wiem jak się zabrać za znalezienie funkcji tworzących.

Może ktoś pomoże?