kostki - suma kwadratów podzielna przez 3

[szymek12]

Rzucamy \(\displaystyle{ n}\) - sześciennymi kostkmi do gry. Na ile sposobów można wyrzucić cyfry \(\displaystyle{ (1,2,3,4,5,6)}\), tak aby suma kwadratów otrzymanych w \(\displaystyle{ n}\) - rzutach wyników była podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

[frej]

\(\displaystyle{ n^2 \equiv 0,1 \pmod{3}}\), zatem liczba oczek nie podzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Jak już wybierzemy takie \(\displaystyle{ k}\), że mamy \(\displaystyle{ 3k}\) niepodzielnych liczb przez \(\displaystyle{ 3}\), to wybieramy \(\displaystyle{ 3k}\) kostek, czyli

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}= \sum_{k=0}^{[\frac{n}{3}]} {n \choose 3k}}\)

Gdy już wybraliśmy dane kostki, to mamy \(\displaystyle{ 3k}\) niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ n-3k}\) podzielnych. Mamy \(\displaystyle{ 4}\) liczby niepodzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), mianowicie \(\displaystyle{ \{ 1,2,4,5 \}}\) i dwie podzielne \(\displaystyle{ \{ 3,6 \}}\). Otrzymujemy więc

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{3}]} {n \choose 3k} 4^{3k} \cdot 2^{n-3k}}\)

Jednak na mocy tego otrzymujemy, że

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}= \sum_{k=0}^{[\frac{n}{3}]} {n \choose 3k} 4^{k} \cdot 2^{n-k} \right) = \\ = \frac{1}{3} \Bigg( \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 4^{k} \cdot 2^{n-k} + \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} e^{\frac{2ki\pi}{3}}4^{k} \cdot 2^{n-k} + \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} e^{\frac{4ki\pi}{3}}4^{k} \cdot 2^{n-k} \Bigg) = \\ = \frac{1}{3} \Bigg( (4+2)^n + (4e^{\frac{2i\pi}{3}} +2)^n + (4e^{\frac{4i\pi}{3}} + 2)^n \Bigg) = \frac{1}{3} \left( 6^n + (i2\sqrt{3})^n + (-i2\sqrt{3})^n \right)}\)

Czyli

\(\displaystyle{ \boxed{\overline{\overline{A}}=\frac{1}{3} \Bigg( 6^n + (i2\sqrt{3})^n + (-i2\sqrt{3})^n\Bigg) }}\)