\(\displaystyle{ {2n\choose n}=\sum_{k=0}^{n} {n\choose k}}\) \(\displaystyle{ {n\choose n - k}}\)
Jakiś pomysł jak to ugryźć ?
Tożsamość do udowodnienia... [symbol Newtona i suma]
Tożsamość do udowodnienia... [symbol Newtona i suma]
Lewa strona tłumaczy się chyba tak.
Z grupy n mężczyzn i n kobiet,czyli w sumie 2n osób wybierasz n przedstawicieli.
Prawa strona
Wybierasz n przedstawicieli,zaczynając od wyboru k kobiet, a potem dobierając n-k mężczyzn.
Wybory zależą od k (możesz nie wybrać żadnej kobiety k=0 ,wybrać same kobiety k=n lub kilka kobiet i kilku mężczyzn ),dlatego sumujesz wszystkie możliwe przypadki (wybory są rozłączne i niezależne).
Z grupy n mężczyzn i n kobiet,czyli w sumie 2n osób wybierasz n przedstawicieli.
Prawa strona
Wybierasz n przedstawicieli,zaczynając od wyboru k kobiet, a potem dobierając n-k mężczyzn.
Wybory zależą od k (możesz nie wybrać żadnej kobiety k=0 ,wybrać same kobiety k=n lub kilka kobiet i kilku mężczyzn ),dlatego sumujesz wszystkie możliwe przypadki (wybory są rozłączne i niezależne).
Tożsamość do udowodnienia... [symbol Newtona i suma]
Albo \(\displaystyle{ {n \choose n-k} = {n \choose k}}\) wtedy mamy \(\displaystyle{ {2n \choose n}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ^2}\) a to zostało już udowodnione np. tutaj viewtopic.php?f=101&t=114374