Rozważamy problem polegający na skonstruowaniu wyrażenia arytmetycznego złożonego z dwuargumentowych operatorów dodawania i mnożenia oraz wartości 0.3. W przypadku gdy liczba n użytych operatorów jest równa dwa, wyrażeniem o największej wartości jest 0.3 + (0.3 + 0.3) = 0.9.
Znajdź wyrażenie dla n = 21.
Jeżeli ktoś ma pomysł na rozwiązanie będę bardzo wdzięczny.
Największa wartość wyrażenia
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Największa wartość wyrażenia
Na początek obserwacja. Spośród wszystkich prostokątów o ustalonym obwodzie największe pole ma ten, który jest kwadratem. Weźmy dwie identyczne sumy. Ich iloczyn daje więcej niż ich suma wtedy, gdy pole kwadratu jest większe niż połowa jego obwodu, tzn dla boku o długości większej niż 2 - w naszym przypadku oznacza to sumę co najmniej 7 składników (6 operacji dodawania) - zatem począwszy od n=13 opłaca się brać również iloczyny.
Weźmy więc 2.1*2.1 (13 operacji, w tym 1 mnożenie). Pozostaje 8 operacji do wykorzystania.
Dodanie jakiegokolwiek wyrażenia zrobionego za pomocą dowolnych 7 operacji jest nieopłacalne (na podstawie powyższej obserwacji), pozostają więc dwie sensowne metody zwiększenia wartości tego wyrażenia za pomocą 8 operacji.
1) dokładamy jeszcze jedno mnożenie - aby było to opłacalne w każdym nawiasie musi być co najmniej 2.1, co daje 20 operacji, więc brakującą operacją musi być dodawanie, dołożone do któregokolwiek nawiasu - co daje 2.1*2.1*2.4=10.584 (wychodzi po rozpatrzeniu ekstremów funkcji dwóch zmiennych, ale intuicyjnie to też jasne).
2) dodajemy do każdego nawiasu pewną ilość 0.3 - łącznie operacji dodawania będzie wówczas 20, więc wyrażenie jest postaci \(\displaystyle{ (0,3)^2(21-k)(k+1)}\), a największą wartość ma w wierzchołku paraboli, czyli dla k=10 i tą wartością jest 10,89, a więc to jest maksymalna wartość tego wyrażenia.
Pozdrawiam.
Weźmy więc 2.1*2.1 (13 operacji, w tym 1 mnożenie). Pozostaje 8 operacji do wykorzystania.
Dodanie jakiegokolwiek wyrażenia zrobionego za pomocą dowolnych 7 operacji jest nieopłacalne (na podstawie powyższej obserwacji), pozostają więc dwie sensowne metody zwiększenia wartości tego wyrażenia za pomocą 8 operacji.
1) dokładamy jeszcze jedno mnożenie - aby było to opłacalne w każdym nawiasie musi być co najmniej 2.1, co daje 20 operacji, więc brakującą operacją musi być dodawanie, dołożone do któregokolwiek nawiasu - co daje 2.1*2.1*2.4=10.584 (wychodzi po rozpatrzeniu ekstremów funkcji dwóch zmiennych, ale intuicyjnie to też jasne).
2) dodajemy do każdego nawiasu pewną ilość 0.3 - łącznie operacji dodawania będzie wówczas 20, więc wyrażenie jest postaci \(\displaystyle{ (0,3)^2(21-k)(k+1)}\), a największą wartość ma w wierzchołku paraboli, czyli dla k=10 i tą wartością jest 10,89, a więc to jest maksymalna wartość tego wyrażenia.
Pozdrawiam.