Relacja w zbiorze

[kazafin]

Niech r będzie relacją w zbiorze R taką, że x r y wttw x-y jest liczbą całkowitą.

a) Zbadaj, czy to jest relacja równoważności. Jeśli tak, podaj jej klasy abstrakcji.

b) Ustal jakiś podział zbioru {1,3,6,9,12,15} na trzy podzbiory i wskaż relację równoważności, która odpowiada temu podziałowi.

[BettyBoo]

a) tu masz rozwiązanie

b) taka relacja zawiera wszystkie pary, których współrzędne należą do tej samej składowej podziału;
jeśli w podziale mamy składową jednoelementową {x}, to w relacji równoważności odpowiada jej jeden element (x,x); jeśli składowa ma dwa elementy {x,y}, to odpowiadają jej 4 elementy w relacji: (x,x), (y,y), (x,y), (y,x); jeśli ma 3 elementy to odpowiada jej 3^2 elementów itd;
Ilość różnych podziałów (a tym samym różnych relacji równoważności) zbioru n-elementowego to n-ta liczba Bella, więc trochę tego jest.

Najmniejszą (w sensie ilości elementów) relacją równoważności na zbiorze a={1,3,6,9,12,15} jest przekątna zbioru a, tzn relacja \(\displaystyle{ \Delta=\{(x,x)|\ x\in a\}}\)- odpowiada jej podział {{1},{3},{6},{9},{12},{15}}. Największą jest relacja pełna na zbiorze a, czyli relacja \(\displaystyle{ \nabla=a\times a}\) i odpowiada jej podział {{1,3,6,9,12,15}}

Pozdrawiam.