Udowodnij że:
\(\displaystyle{ \sum_{n=k}^{m} {n\choose k} = {m+1\choose k+1}}\)
symbol newtona
-
kasienka16m
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 17 kwie 2009, o 09:28
- Płeć: Kobieta
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
symbol newtona
Dowód indukcyjny względem m dla dowolnego k.
krok 1: m=k. wtedy obie strony są równe 1
krok 2: zakładamy ze równość jest prawdziwa dla m. wtedy
\(\displaystyle{ \sum_{n=k}^{m+1} {n \choose k} = {{m+1}\choose k}+\sum_{n=k}^{m} {n \choose k} = {m+1 \choose k}+ {m+1 \choose k+1}= {m+2 \choose k+1}}\) na podstawie wzoru dla symbolu Newtona
Wobec tego zgodnie z zasadą indukcji wzór jest prawdziwy dla dowolnego m>=k.
Pozdrawiam.
krok 1: m=k. wtedy obie strony są równe 1
krok 2: zakładamy ze równość jest prawdziwa dla m. wtedy
\(\displaystyle{ \sum_{n=k}^{m+1} {n \choose k} = {{m+1}\choose k}+\sum_{n=k}^{m} {n \choose k} = {m+1 \choose k}+ {m+1 \choose k+1}= {m+2 \choose k+1}}\) na podstawie wzoru dla symbolu Newtona
Wobec tego zgodnie z zasadą indukcji wzór jest prawdziwy dla dowolnego m>=k.
Pozdrawiam.