Kombinatoryka zad z koralikami / maturalne

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
krzych07
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 130
Rejestracja: 24 sty 2008, o 12:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: net
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 10 razy

Kombinatoryka zad z koralikami / maturalne

Post autor: krzych07 »

Agnieszka miała koraliki w dwóch różnych kolorach, w każdym kolorze tę samą liczbę koralików. Nawlekała je na nitkę wykorzystując wszystkie koraliki. Otrzymała w ten sposób \(\displaystyle{ 70}\) różnych wisiorków. Po ile koralików każdego koloru miała Agnieszka?
Wiem że to bedzie cos z permutacjami, tylko chyba dwa kolarki tego samego koloru nie będą rozróżnialne...
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Kombinatoryka zad z koralikami / maturalne

Post autor: BettyBoo »

Jeśli wisiorki mają początek i koniec, to różnych wisiorków jest \(\displaystyle{ {2n \choose n}}\), gdzie n to ilość koralików jednego koloru (bo n koralików jednego koloru trzeba poustawiać na 2n miejscach bez uwzględniania kolejności; pozostałe koraliki same się ustawią na pozostałych wolnych miejscach). Żeby ta liczba była równa 70, to w liczniku musi pojawić się m.in. liczba podzielna przez 7. Najmniejszą liczbą postaci \(\displaystyle{ {2n \choose n}}\), która ma w liczniku 7 jest \(\displaystyle{ {8 \choose 4}=70}\). Ponieważ \(\displaystyle{ {2(n+1) \choose n+1}= {2n+1 \choose n}+ {2n+1 \choose n+1}={2n \choose n}+ {2n \choose n+1}+{2n+1 \choose n+1}}\), to \(\displaystyle{ {2(n+1) \choose n+1}>{2n \choose n}}\), więc ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ {2n \choose n}}\) jest rosnący i dla żadnej innej wartości n nie otrzymamy 70.
Odpowiedź: po 4.

Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ