jest jakiś wzór na ilość części płaszczyzny, która została podzielona przez n prostych ?
Założmy że mamy n prostych których każde dwie się przecinają, a żadne 3 nie przechodzą przez ten sam punkt.
Co wtedy? Ile mam części ? Jak to policzyć ?
Płaszczyzna podzielona przez proste
-
Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
Płaszczyzna podzielona przez proste
wzór rekurencyjny:
\(\displaystyle{ n}\) - liczba prostych
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 = 2 \\ a_n = a_{n-1} + n \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ n}\) - liczba prostych
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 = 2 \\ a_n = a_{n-1} + n \end{cases}}\)
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Płaszczyzna podzielona przez proste
Ale z tej rekurencji łatwo można wyprowadzić wzór ogólny:
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n(n+1)}{2} +1}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n(n+1)}{2} +1}\)
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Płaszczyzna podzielona przez proste
\(\displaystyle{ a_{n} = a_{n-1} + n = a_{n-2} + n + (n-1) = a_{n-3} + \left(n + (n-1)
+ (n-2)\right) = \ldots = a_{1} + \left(n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 2\right) = \frac{n(n+1)}{2} - 1 + a_{1} = \frac{n(n+1)}{2} + 1}\)
+ (n-2)\right) = \ldots = a_{1} + \left(n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 2\right) = \frac{n(n+1)}{2} - 1 + a_{1} = \frac{n(n+1)}{2} + 1}\)