Proste k i l są równoległe. Na prostej k zaznaczono cztery różne punkty a na prostej l zaznaczono pięć różnych punktów. Ile jest wszystkich różnych:
a) trójkątów
b) czworokątów
o wszystkich wierzchołkach w podanych punktach?
Ile jest trójkątów i czworokątów?
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Ile jest trójkątów i czworokątów?
a) Aby stworzyć trójkąt, trzeba wybrać dwa punkty na jednej prostej i jeden na drugiej.
Weźmy dowolny punkt na prostej k. Można z nim stworzyć tyle trójkątów, ile jest możliwych wyborów dwóch punktów z pięciu, które leżą na prostej l, a więc \(\displaystyle{ 5 \choose 2}\). Punktów na prostej k jest 4, więc mamy \(\displaystyle{ 4 {5 \choose 2}}\) różnych trójkątów. Analogiczna sytuacja jest gdy pojedynczy wierzchołek leży na proste l - mamy wtedy \(\displaystyle{ 5{4\choose 2}}\) trójkątów. Jest ich więc łącznie \(\displaystyle{ 4{5 \choose 2}+5{4\choose 2}=70}\)
b) Aby stworzyć czworokąt trzeba wziąć po dwa punkty na każdej prostej. Z dowolnymi dwoma punktami prostej k można stworzyć tyle czworokątów, ile jest sposobów wybrania dwóch punktów z prostej l,czyli \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\). Dwa punkty na prostej k można wybrać na \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\) sposobów. Zatem ostatecznie różnych czworokątów jest \(\displaystyle{ {5 \choose 2}{4\choose 2}=60}\)
Pozdrawiam.
Weźmy dowolny punkt na prostej k. Można z nim stworzyć tyle trójkątów, ile jest możliwych wyborów dwóch punktów z pięciu, które leżą na prostej l, a więc \(\displaystyle{ 5 \choose 2}\). Punktów na prostej k jest 4, więc mamy \(\displaystyle{ 4 {5 \choose 2}}\) różnych trójkątów. Analogiczna sytuacja jest gdy pojedynczy wierzchołek leży na proste l - mamy wtedy \(\displaystyle{ 5{4\choose 2}}\) trójkątów. Jest ich więc łącznie \(\displaystyle{ 4{5 \choose 2}+5{4\choose 2}=70}\)
b) Aby stworzyć czworokąt trzeba wziąć po dwa punkty na każdej prostej. Z dowolnymi dwoma punktami prostej k można stworzyć tyle czworokątów, ile jest sposobów wybrania dwóch punktów z prostej l,czyli \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\). Dwa punkty na prostej k można wybrać na \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\) sposobów. Zatem ostatecznie różnych czworokątów jest \(\displaystyle{ {5 \choose 2}{4\choose 2}=60}\)
Pozdrawiam.