Funkcje zbioru w zbiór.

[dee_jay]

Dane są zbiory \(\displaystyle{ A=\{1,2,3\}}\), \(\displaystyle{ \{B=5,6,7,8,9\}}\).
a) Ile jest wszystkich funkcji ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) w zbiór \(\displaystyle{ B}\)?
b) Ile jest wszystkich funkcji ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) w zbiór \(\displaystyle{ B}\), które dla różnych argumentów przyjmują różne wartości?
c) Ile jest wszystkich funkcji rosnących ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) w zbiór \(\displaystyle{ B}\)?

Znalazłem to zadanie na forum, lecz nikt go nie rozwiązał. Proszę o rozwiązanie.

Na przyszłość nie zakładaj nowego tematu, tylko cierpliwie poczekaj na rozwiązanie.

[abc666]

a)
\(\displaystyle{ 5^3}\)
b)

[dee_jay]

w b) ma wyjść \(\displaystyle{ 60}\)

wytłumacz c)

[abc666]

c policzyłem w pamięci

b) racja, zapomniałem że te trzy elementy mogą być w różnej kolejności czyli
\(\displaystyle{ {5 \choose 3} *3!}\)

[xiikzodz]

b) Wartość w 1 na 5 sposobów w 2 na 4 sposoby w 3 na 3 sposoby - razem \(\displaystyle{ 5\cdot4\cdot 3}\).

c) Wystarczy policzyć funkcje niemalejące \(\displaystyle{ \{1,2,3\}\to\{0,1,2,3,4\}}\). W tym celu wybieramy ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,5,6,7,8\}}\) trzy liczby. Następnie określamy f(1) to liczba elementów mniejszych najmniejszej wybranej, f(2) liczba elementów mniejszych od drugiej pod względem wielkości spośród wybranych oraz f(3) liczbę elementów mniejszych od największej wybranej. To daje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie wyborów trzech spośrówd ośmiu elementów funkcjom roznącym. Stąd odpowiedź: \(\displaystyle{ \binom{8}{3}}\).

Ach, to powyżej nie na temat, ale może się przydać, bo liczy funkcje niemalejące. Do policzenia rosnących nie trzeba się aż tak gimnastykować. Wybieramy 3 elementy ze zbioru {5,6,7,8,9} najmniejszy z nich to wartość funkcji w 1 itd. Czyli odpowiedź \(\displaystyle{ \binom 53}\).

[abc666]

xiikzodz, coś mi tu nie pasuje, stosując to samo rozumowanie dla funkcji rosnących
\(\displaystyle{ \{1,2\} \rightarrow \{0,1,2, 3\}}\) wyszło by 15 a nie ma ich tyle
.1 0
2 1 | 2 2 | 2 3
.1 1
2 2 | 2 3
.1 2
2 3
czyli 6

[dee_jay]

Pogubiłem się. Odpowiedzi mają być takie:
a)\(\displaystyle{ 125}\)
b)\(\displaystyle{ 60}\)
c)\(\displaystyle{ 10}\)

[xiikzodz]

Policzyło mi się funkcje niemalejące, bo to zresztą nieco ciekawsze. Rosnące jeszcze prościej. Już poprawione tam wyżej.