Ile jest liczb czterocyfrowych

[Khamell]

w których cyfra tysięcy jest większa od cyfry setek, a cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek? Proszę o wyjaśnienie zadania

[kadiii]

Wybieramy \(\displaystyle{ 3}\) liczby ze zbioru \(\displaystyle{ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}}\). Trójka różnych liczb określa dokładnie jeden ciąg, w którym cyfra tysięcy jest większa od cyfry setek a cyfra setek od cyfry dziesiątek. Takich trójek jest oczywiście \(\displaystyle{ {10 \choose 3}}\). Dodajac do tego, że cyfra jedności może być dowolna, mamy:
\(\displaystyle{ Ilosc= {10 \choose 3}*10=1200}\)
W ogólności można zauważyć, że liczb k-cyfrowych o podanej własności jest \(\displaystyle{ {10 \choose k-1}*10}\) czyli maksymalnie jest ich \(\displaystyle{ 2520}\) dla \(\displaystyle{ k=5}\) (liczb sześciocyfrowych).

[belferkaijuz]

liczbę liczb 4-ro cyfrowych :\(\displaystyle{ 10^3x+10^2y+10z+k,gdzie x,y \in {{1,2,3,4,5,6,7,8,9}} \wedge z, k \in {{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}} \wedge x>y>z}\)

możemy obliczać np tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=3 \Rightarrow( (y=1 \wedge z=0) \vee ( y=2 \wedge z \in {{1,0}})) \wedge k \inA= {{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,}}jest ich(1+1) \cdot 10 \\ x=4 \Rightarrow( (y=3 \wedge z \in {{2,10}}) \vee (y=2 \wedge z \in {{1,0}})) \wedge k \in A,jest ich(3+2) \cdot 10=30\end{cases}}\)

postępując tak dalej otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=5 \Rightarrow takich liczb jest:(4+3+2+1) \cdot 10 \\ x=6 \Rightarrow takich liczb jest (5+4+3+2+1) \cdot 10=100 \end{cases}}\)

itd..

wszystkich liczb spełniających warunki zadania jest:

\(\displaystyle{ (2+1) \cdot 10+(3+2+1) \cdot 10+(4+3+2+1) \cdot 10+(5+4+3+2+1) \cdot 10+...+(8+7+6+5+4+3+2+1) \cdot 10}\)

10 można wyłączyć przed nawias i policzyć "na piechotę" lub korzystając ze wzoru na sumę 3-ch, 4-ch,5-ciu ,6- ciu ,7-u,8-u wyrazów ciągu arytm.,lub jak sam zechcesz.

[kadiii]

belferkaijuz takie podchodzenie do kombinatoryki najczęściej nie jest zbyt owocne, a już na pewno nieefektywne.

[belferkaijuz]

\(\displaystyle{ {10 \choose 3}}\) daje liczbę zbiorów 3-elementowych,nie liczbę ciągów 3-wyrazowych ,nie mówiąc już o monotoniczności tych ciągów.
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=3 \Rightarrow( y=1 \wedge z=0) \vee y=2 \wedge z \in [1,0]jest\ich\(2+1) \cdot 10 \\ x=4 \Rightarrow(( y=3 \wedge z \in [2,1,0]) \vee (y=2 \wedge z \in [1,0]) \vee (y=1 \wedge z=0))\\takich jest (3+2+1) \cdot 10 \end{cases}}\)

ta notacja jest ,jak myślę, zrozumiała.

[kadiii]

Widzę, że nie zrozumiałaś rozwiązania choć wydaje sie dość proste. Jesli chcemy żeby \(\displaystyle{ 3}\) liczby miały własność \(\displaystyle{ a>b>c}\) to oczywiście \(\displaystyle{ a \neq b \neq c}\) . Zbiór \(\displaystyle{ 3}\) liczb reprezentuje dokładnie jeden ciag o własności, że a>b>c ponieważ największa to cyfra tysięcy, najmniejsza dziesiątek a trzecia setek. Dlatego też rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ {10 \choose 3}*10=1200}\). Co do twojego rozwiazania to możliwe, że jest i dobre, musiałabyś doliczyć do końca, tak czy owak jest to rozwiazanie mało efektywne.

[belferkaijuz]

Regulamin nie pozwala dyskutować .Odpowiadam: zastanowię się jeszcze raz-to jest przekonywujące,ale mój wynik o 10 liczb mniej.Jeżeli nie szkoda Ci czasu-popatrz na to.

[kadiii]

Chyba źle interpretujesz regulamin, dyskusja o zadaniach szczególnie merytoryczna jest kwintesencja tego forum. Co do mojego wyniku jest na pewno dobry. Co do twojego rozwiazania to piszesz troche chaotycznie przez co trudno sie to czyta. Możliwe, że pominęłaś liczby postaci 210x , których akurat jest 10, chociaż jednoznacznie nie da sie tego stwierdzić z twojego zapisu.

P.S Argumenty mogą być przekonujące, nigdy przekonywujące.
Pozdrawiam i zachęcam do dyskusji nad zadaniami ponieważ wiele sie można nauczyć.

[belferkaijuz]

Dziękuję. Masz rację.Brakuje tych właśnie liczb.Ważne jest to.że w zbiorze liczby są różne,a porządek- jak wymaga temat.

[Khamell]

Nie wpadłbym chyba na to rozwiązanie kadiii, a kiedy się je czyta to wydaje się banalne. Dzięki za wyjaśnienie.

[belferkaijuz]

Takie myślenie o zbiorze to olśnienie -do tego "bałaganu" zawsze mogę wprowadzić jednoznaczną
reprezentację dowolnego porządku.Proste!
PS argumenty mogą też być przekonywające"Słownik poprawnej polszczyzny" (oczywiście nie:przekonywujące.
Jeszcze raz dzięki .Radosnych Świąt !

[biolga]

w których cyfra tysięcy jest mniejsza od cyfry setek, a cyfra setek jest mniejsza od cyfry dziesiątek?

Dlaczego w tym podpunkcie nie będzie tak jak w poprzednim?

[szymek]

Bo w tym wypadku będzie \(\displaystyle{ {9 \choose 3}}\) ponieważ, cyfra tysięcy nie może być 0, wtedy liczba była by liczbą 3 cyfrową. W poprzednim wypadku, było to eliminowane poprzez założenie że tysiecy musi być większa od setek, więc nawet gdy setek była 0 to tysięcy była 1, innymi słowy tysięcy nie mogła być w żadnym wypadku 0, natomiast tutaj jak setki to cyfra 1 to tysiące musiały by być równe 0, a to nie możliwe. W wielkim skrócie i obrazowo są cyfry większe od 0, a mniejszych nie ma, i dlatego wybieramy z 9 a nie 10 w przypadku numer 2. Przynajmniej ja to tak widzę

[blizniac]

W tym wypadku można rozpocząć tak jak w przypadku poprzedni, z tą różnicą, że rzeczywiście musimy wykluczyć 0 z cyfry tysięcy. Ja więc posłużyłem się wcześniejszym obliczeniem , a od niego odjąłem liczbę przypadków w których 0 jest na pierwszym miejscu (i należy też zwrócić uwagę, że wtedy wśród cyfr setek i dziesiątek nie mamy zera, więc szukamy dwuwyrazowych ciągów spośród tylko dziewięciu cyfr). Wychodzi ich 36. Po odjęciu 120- 36 i mnozeniu razy 10 mamy wynik zgodny z odpowiedzia