Sprawdz czy jest to bijekcja.

[kazafin]

Zad
(a) Dana jest funkcja f: N N, f(x) = x mod 5, gdzie a mod b jest resztą otrzymaną z dzielenia a przez b. 1. Sprawdź, czy jest to bijekcja.
2. Wyznacz f(A), gdzie A={1} (przeciwobraz zbioru A wyznaczony przez funkcję f).
3. Wyznacz (f o g)(B) dla g: NN, g(x)=x mod 2 i B ={0,1,2,…,14,15}

(b) Niech f będzie funkcją różnowartościową ze zbioru X w zbiór Y.

1.Zbadaj czy dla dowolnych A, B X zachodzi równość f(AB) = f(A)f(B).
2.Czy założenie różnowartościowości jest niezbędne?

[Crizz]

(a)
1. Jasne, że to nie jest bijekcja, bo to nie jest injekcja, np. \(\displaystyle{ f(1)=f(6)}\)
2. \(\displaystyle{ f(1)=1 mod 5=1}\), więc \(\displaystyle{ f(A)=\{1\}=A}\)
3. Przy dzieleniu przez 2 dana liczba może dawać tylko resztę zero lub jeden, czyli \(\displaystyle{ g(B)=\{0,1\}}\), zatem \(\displaystyle{ (f \circ g)(B)=f(\{0,1\})=\{0,1\}}\)

-- 5 kwietnia 2009, 20:46 --

(b) wystarczy rozważyć wszystkie możliwe przypadki:
1. \(\displaystyle{ x \in A, x\in B}\), wtedy: \(\displaystyle{ x \notin A \backslash B}\), czyli \(\displaystyle{ f(x) \notin f(A \backslash B)}\), z drugiej strony \(\displaystyle{ f(x) \in f(A)}\) oraz \(\displaystyle{ f(x) \in f(B)}\), czyli \(\displaystyle{ f(x) \notin f(A) \backslash f(B)}\).
2. \(\displaystyle{ x \in A, x \notin B}\), wtedy \(\displaystyle{ x \in A \backslash B}\), czyli \(\displaystyle{ f(x) \in f(A \backslash B)}\), a z drugiej strony \(\displaystyle{ f(x) \in f(A)}\) i \(\displaystyle{ f(x) \notin f(B)}\), czyli \(\displaystyle{ f(x) \in f(A) \backslash F(B)}\)
3. \(\displaystyle{ x \notin A, x \in B}\), wtedy \(\displaystyle{ x \notin A \backslash B}\), czyli \(\displaystyle{ f(x) \notin F(A \backslash B)}\), z drugiej strony \(\displaystyle{ x \notin A}\) i \(\displaystyle{ x\in B}\), czyli \(\displaystyle{ f(x) \notin f(A), f(x) \in f(B)}\), zatem \(\displaystyle{ f(x) \notin f(A) \backslash f(B)}\)
4. \(\displaystyle{ x \notin A, x \notin B}\), wówczas \(\displaystyle{ f(x) \notin f(A\B)}\) oraz \(\displaystyle{ f(x) \notin f(A) \backslash f(B)}\)
W każdym przypadku, dla dowolnego p zdania \(\displaystyle{ p \in f(A \backslash B)}\) oraz \(\displaystyle{ p \in f(A) \backslash f(B)}\) są równoważne, zatem równość zawsze jest prawdziwa.
Założenie różnowartościowości jest konieczne. Kontrprzykład: \(\displaystyle{ A=\{1,2,3\},B=\{2\},f(1)=f(2)}\).