dwumian Newtona, zliczanie obiektów kombinatorycznych

[Galilee]

1. Wykazać, że \(\displaystyle{ {5 \choose 0} ^{2} + {5 \choose 1} ^{2} + {5 \choose 2} ^{2} + {5 \choose 3} ^{2} + {5 \choose 4} ^{2} + {5 \choose 5} ^{2} = {10 \choose 5}}\)


2. Na dwa sposoby wykazać, że \(\displaystyle{ {n \choose 0} ^{2} + {n \choose 1} ^{2} + {n \choose 2} ^{2} + ...+ {n \choose n} ^{2} = {2n \choose n}}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\) i \(\displaystyle{ n}\)\(\displaystyle{ \ge 1.}\)


3. Na dwa sposoby wykazać, że \(\displaystyle{ {n \choose k} = {n-k \choose k-1} + {n-k \choose k}}\)


4. Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ 11^{n+2} + 12^{2n+1}}\) jest podzielna przez 133 dla kazdej liczby n \(\displaystyle{ \in}\) N


5. Wykazać, że \(\displaystyle{ {-3 \choose 5} = {-4 \choose 4} + {-4 \choose 5}}\)


6.Obliczyć wartość liczby \(\displaystyle{ {13 \choose 2,4,4,3}}\)


7. Z jakim współczynnikiem \(\displaystyle{ x^{3} y^{2}}\) występuje w rozwinięciu \(\displaystyle{ (2+3x=4y)^{9}}\)


8. Danych jest 100 liczb naturlanych \(\displaystyle{ a_{1} ,a_{2} ,...,a_{100} .}\) Udowodnić, że istnieją liczby naturlane k oraz l takie, że \(\displaystyle{ 0 \le k < l \le 100}\) i liczba \(\displaystyle{ a_{k+1}+ a_{k+2}+...+ a _{l}}\) jest podzielna przez 100.

9. Niech A będzie dziesięcioelementowym podzbiorem zbioru {1,2,...,50}. Wykazać, że w A istnieją dwa czteroelementowe podzbiory, których sumy elementów są równe.


Więc mam to zadane na poniedziałek było o wile więcej zadań ale resztę zrobiłem sam, a z tymi mam problem.
Bardzo był bym wdzięczny jeśli mi pomożecie, dziękuje : )

[abc666]

Jeśli wykażesz 2 to masz pierwsze, drugie jest na forum, było jakiś czas temu, 3 to nieprawda, chyba że z jakimiś założeniami, (przykład)
\(\displaystyle{ 10={5 \choose 2} \neq {3 \choose 1} + {3 \choose 2} =6}\)
5. podstawić do wzoru i tyle, wzór znajdziesz na wikipedii w rozdziale Uogólniony symbol Newtona
6. podstawiasz do wzoru tylko, znajdziesz go między innymi na tym forum w kompendium albo na wikipedii
7. pomyliłeś chyba znaczki jakieś

[Galilee]

Wielkie dzięki, już bardzo mi pomogłeś większość tych zdań już zrobiłem : )

W 7 zadaniu na pewno nic nie pomyliłem jeśli zadanie jest źle sformułowane to wykładowca musiał popełnić błąd.
Mógł byś mi jeszcze udzielić wskazówek odnośnie zadania 4,8,9

Z góry dzięki za to co zrobiłeś do tej pory : )

[frej]

W siódmym jest błąd w zapisie, przyjrzyj się Wydaje mi się, że zamiast \(\displaystyle{ =}\) powinien być plus. Wtedy zadanie robi się łatwo przy pomocy tego, do czego link podał abc666
Czwarte można zrobić przy pomocy kongruencji, albo indukcji.-- 4 kwietnia 2009, 23:25 --8. Podpowiedź:
Rozważ \(\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n a_k}\) i ich różnice \(\displaystyle{ S_l-S_k}\). Skorzystaj z zasady szufladkowej Dirichleta.

[gmpkm]

A co z zadankiem 9.?