Mam takie zadanie:
Oblicz: \(\displaystyle{ {n \choose 1}+2*{n \choose 2}+3*{n \choose 3}+...+n*{n \choose n}}\)
Wiem , że wynik to \(\displaystyle{ n* 2^{n-1}}\), ale jak to udowodnić.
Symbol Newtona
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Symbol Newtona
Dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ k \le n}\) zachodzi \(\displaystyle{ k \cdot {n \choose k} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}=n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)}=n \cdot {n-1 \choose k-1}}\)
Stąd rozważaną sumę można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ n \cdot \left( {n-1 \choose 0} +...+ {n-1 \choose n-1} \right)=n \cdot (1+1)^{n-1}=n \cdot 2^{n-1}}\).
Stąd rozważaną sumę można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ n \cdot \left( {n-1 \choose 0} +...+ {n-1 \choose n-1} \right)=n \cdot (1+1)^{n-1}=n \cdot 2^{n-1}}\).