Rozwiązanie szczególne ciągu rekurencyjnego 2

[Harry Xin]

Stosując odpowiednie podstawienie, sprowadź poniższe równanie do postaci liniowej, a następnie znajdź jego rozwiązanie szczególne:

\(\displaystyle{ b_{1}=1, \ \left(n+1\right)b_{n+1}=b_{n}+1}\)

Ogólny schemat działania znam. Tylko nie mam pomysłu na podstawienie.

[abc666]

Podziel przez (n+1), zobacz jak wyglądają 3 pierwsze wyrazy kiedy rozpiszesz

[Harry Xin]

Podziel przez (n+1)

Jak na to wpadłeś?

zobacz jak wyglądają 3 pierwsze wyrazy kiedy rozpiszesz

Próbowałem i niby jakąś zależność można zobaczyć:

\(\displaystyle{ 1,1,\frac{2}{3},\frac{5}{12},\frac{17}{60},...}\)

Ale jak nie kombinuję to mi ta druga jedynka przeszkadza...
Próbowałem wrzucić silnię z n do mianownika i wtedy dwójkę do licznika, żeby mieć mianownik z głowy, ale licznik coś nie gra...

[abc666]

Oj źle spojrzałem, myślałem że inaczej będą wyglądać wyrazy

[Rogal]

Można by spróbować podstawić \(\displaystyle{ b_{n} = \frac{a_{n}}{n!}}\), wtedy równanie rekurencyjne przyjmie postać:
\(\displaystyle{ (n+1) \frac{a_{n+1}}{(n+1)!} = \frac{a_{n}}{n!} + 1 \\ a_{n+1} = a_{n} + n!}\)
Nie jest to szczególnie liniowe, ale przyjemniejsze w odbiorze ;p

[Harry Xin]

A czemu tak?

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} \frac{a_{n+1}}{(n+1)!} = \frac{a_{n}}{n!} + 1}\)

A nie tak?

\(\displaystyle{ \left(n+1\right)\frac{a_{n+1}}{\left(n+1\right)!}=\frac{a_{n}}{n!}+1}\)

[abc666]

To chyba błąd w zapisie tylko bo potem jest już tak jak ma być

[Rogal]

Poprawiłem - myślałem już o czymś innym.

[Maciej87]

Podstawiamy \(\displaystyle{ a_n=n!\cdot b_n}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+n!}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n!} \sum\limits_{k=0\ldots n-1} k!}\)

-- 19 mar 2009, o 09:53 --

Oops. Przepraszam.
Powtórzyłem się już za kimś.
Ale w czym mamy problem skoro policzyliśmy już rozwiązanie?

[Harry Xin]

Ale w czym mamy problem skoro policzyliśmy już rozwiązanie?

Ogólny schemat działania znam. Tylko nie mam pomysłu na podstawienie.

I tyle mi było do szczęścia potrzebne. Po prostu nie mogłem wymyślić jakie tu może być podstawienie.