Piłka nożna i fakultety

[sasquatch1988]

Witam.
Mam mały problem z dwoma zadaniami z kombinatoryki.

Uczniowie klasy matematyczno-informatycznej muszą uczęszczać na fakultety z trzech przedmiotów, w tym z co najmniej dwóch przedmiotów ścisłych. Wyboru dokonują spośród dziesięciu przedmiotów, wśród których są cztery ścisłe. Oblicz na ile sposobów może wybrać fakultety uczeń.

I teraz moje błędne jak na razie próby rozwiązania:
wybrać należy trzy przedmioty. Więc mamy zbiór 3 elementowy. Dwa z tych miejsc muszą być zajęte przez przedmioty ścisłe, których mamy 4. Jedno, ostatnie może być zajęte przez dowolny przedmiot.
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ {4 \choose 2} * {8 \choose 1}}\) Bo jak już wybierzemy te 2 przedmioty ścisłe to zostanie nam do wyboru łącznie 8 możliwych. Wynik oczywiście mi wychodzi 48. W odpowiedziach jest 40. Nie mam pojęcia dlaczego i przez to nie wiem gdzie mam dziurę.

W rozgrywkach piłkarskiej ekstraklasy występuje 16 zespołów. W jednym sezonie każda drużyna rozgrywa z każdą mecz i rewanż. Do ilu pojedynków dochodzi w ciągu sezonu w tych rozgrywkach?

Ogólnie nie mam pojęcia jak ugryźć tego typu zadania, więc zrobiłem to na około. Pierwsza drużyna rozegra 15 meczów. Kolejna 14, kolejna 13 itd. Tak więc wg. mnie liczbą meczy powinno być 15+14+13+...+1, jednak wynik jaki powinien wyjść to: 240, czyli 15*16. Dlaczego akurat tak?


Ogólnie te zadania do najtrudniejszych nie należą, wiem, ale poprawiam w tym roku maturkę, a od dwóch lat nie miałem kontaktu z kombinatoryką i opornie to idzie. Liczę na waszą pomoc z jakimś objaśnieniem dlaczego tak a nie inaczej.
Pozdrawiam, Tomek

[Crizz]

Drugie:

Skoro kazdy ma grać z każdym, to sprawdzasz, na ile możliwości ze zbioru 16 drużyn możesz wybrać dwie (które zagrają ze sobą mecz). Można to zrobić na \(\displaystyle{ {16 \choose 2}}\) sposobów (kombinacja bez powtórzeń - wyboru zbioru k-elementowego ze zbioru n-elementowego można dokonć na \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) sposobów). Skoro każde dwie drużyny grają ze sobą dwa mecze, to otrzymaną liczbę mnożysz przez dwa, dostając \(\displaystyle{ 2 {16 \choose 2}=16 \cdot 15=240}\).

Co do pierwszego, to chyba w odpowiedziach jest błąd.

[sasquatch1988]

Dzięki. Teraz już rozumiem.
Mam nadzieje, że w pierwszym jest błąd w odpowiedziach.
Pozdrawiam.

[smutnomiboze]

Napiszę rozwiązanie do 1, gdyby ktoś tego poszukiwał jednak , bo w odpowiedziach nie ma żadnego błędu.

Są dwie opcje:

1) Same fakultety scisle (w liczbie 3)
2) Dwa fakultety scisle i jeden "humanistyczny".


Otrzymane opcje trzeba do siebie dodac. Czyli \(\displaystyle{ {4 \choose 2} * {6 \choose 1} + {4 \choose 3}}\)

[mat_61]

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ {4 \choose 2} * {8 \choose 1}}\) Bo jak już wybierzemy te 2 przedmioty ścisłe to zostanie nam do wyboru łącznie 8 możliwych. Wynik oczywiście mi wychodzi 48. W odpowiedziach jest 40. Nie mam pojęcia dlaczego i przez to nie wiem gdzie mam dziurę.

Dlatego Twoja odpowiedź jest zła, że w części przypadków liczysz takie same wybory jako inne. Ten sposób liczenia wymaga, żeby zbiory z których dokonujesz wyboru były rozłączne tzn. musisz najpierw podzielić przedmioty na dwa zbiory i później dokonywać wyborów z każdego ze zbiorów zgodnie z warunkami zadania (tak jak w rozwiązaniu podanym przez smutnomiboze).
Natomiast Ty wybierasz 2 przedmioty ścisłe spośród 4, następnie "przenosisz" dwa niewybrane przedmioty ścisłe do pozostałych 6 i wybierasz spośród nich jeden. I właśnie te "przenosiny" są błędem. Zobacz na przykładzie, że podany przez Ciebie sposób wyboru może być np. taki (przedmioty 1 do 4 to przedmioty ścisłe):

- wybieramy spośród przedmiotów ścisłych przedmioty 1 i 4. Następnie spośród przedmiotów {2;3;5;6;7;8;9;10} wybieramy przedmiot 3.

albo np. taki:

- wybieramy spośród przedmiotów ścisłych przedmioty 3 i 4. Następnie spośród przedmiotów {1;2;5;6;7;8;9;10} wybieramy przedmiot 1.

lub taki:

- wybieramy spośród przedmiotów ścisłych przedmioty 1 i 3. Następnie spośród przedmiotów {2;4;5;6;7;8;9;10} wybieramy przedmiot 4.

Zauważ teraz, że te trzy warianty policzone przez Ciebie jako różne są takie same i oznaczają wybór przedmiotów \(\displaystyle{ \left\{ 1;3;4\right\}}\)

[sasquatch1988]

Dziękuje za odpowiedzi, ale mimo wszystko to temat sprzed 2 lat .
Pozdrawiam

[mat_61]

Faktycznie

Ponieważ poprzedni post był z dzisiaj nie zauważyłem, że samo zadanie to już zamierzchła historia

[paula18]

z jakiego zbioru jest to zadaniee?

[HaveYouMetTed]

Z Kiełbasy Pozdrawiam tegorocznych maturzystów.