Stosując odpowiednie podstawienie, sprowadź poniższe równanie do postaci liniowej, a następnie znajdź jego rozwiązanie szczególne:
\(\displaystyle{ a_{1}=2, \ a_{n+1}^{2}=4a_{n}}\)
Rozwiązanie szczególne ciągu rekurencyjnego
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Rozwiązanie szczególne ciągu rekurencyjnego
Po "ręcznej" analizie (czyli próbie rozwiązania na pałę ;p) wygląda na to, że sugerowanym podstawieniem będzie coś takiego: \(\displaystyle{ a_{n} = 2^{b_{n}}}\), czyli po prostu trzeba patrzeć na ciąg wykładników dwójki, bo podstawę mamy tę samą. Wtedy na b_n dostajemy liniową rekurencję.
- Harry Xin
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 9 sie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 148 razy
- Pomógł: 83 razy
Rozwiązanie szczególne ciągu rekurencyjnego
Jesteś pewien?
Bo jeżeli tak jest to nie mogę sobie poradzić z mnożącymi się przypadkami...
\(\displaystyle{ a_{1}=2\Rightarrow a_{2}=\pm2^{\frac{3}{2}}
\\ 1^{o} a_{2}=2^{\frac{3}{2}}\Rightarrow a_{3}=\pm2^{\frac{7}{4}}
\\ \ \ \cdot \ a_{3}=\pm2^{\frac{7}{4}}\Rightarrow a_{4}=2^{\frac{15}{8}}\vee a_{4}=2^{\frac{15}{8}}i
\\ 2^{o} a_{2}=-2^{\frac{3}{2}}\Rightarrow a_{3}=\pm2^{\frac{7}{4}}i
\\ \ \ \cdot \ a_{3}=2^{\frac{7}{4}}i\Rightarrow a_{4}=\pm2^{\frac{15}{8}}\sqrt{i}
\\ \ \ \cdot \ a_{3}=-2^{\frac{7}{4}}i\Rightarrow a_{4}=?}\)
Bo jeżeli tak jest to nie mogę sobie poradzić z mnożącymi się przypadkami...
\(\displaystyle{ a_{1}=2\Rightarrow a_{2}=\pm2^{\frac{3}{2}}
\\ 1^{o} a_{2}=2^{\frac{3}{2}}\Rightarrow a_{3}=\pm2^{\frac{7}{4}}
\\ \ \ \cdot \ a_{3}=\pm2^{\frac{7}{4}}\Rightarrow a_{4}=2^{\frac{15}{8}}\vee a_{4}=2^{\frac{15}{8}}i
\\ 2^{o} a_{2}=-2^{\frac{3}{2}}\Rightarrow a_{3}=\pm2^{\frac{7}{4}}i
\\ \ \ \cdot \ a_{3}=2^{\frac{7}{4}}i\Rightarrow a_{4}=\pm2^{\frac{15}{8}}\sqrt{i}
\\ \ \ \cdot \ a_{3}=-2^{\frac{7}{4}}i\Rightarrow a_{4}=?}\)
Rozwiązanie szczególne ciągu rekurencyjnego
Rozwiązania rzeczywiste? Jak to, to gdyby pewien wyraz byłby ujemny, to następny...
- Harry Xin
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 9 sie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 148 razy
- Pomógł: 83 razy
Rozwiązanie szczególne ciągu rekurencyjnego
Czyli:
Niech: \(\displaystyle{ a_{n}=2^{b_{n}}}\)
A to średnio mi się podoba (nie wiem jak to opisać - przejście przez drugi znak równości):
\(\displaystyle{ a_{n+1}=2^{b_{n+1}}=2\sqrt{2^{b_{n}}}=2\cdot2^{\frac{1}{2}b_{n}}=2^{\frac{1}{2}b_{n}+1}}\)
Niech: \(\displaystyle{ a_{n}=2^{b_{n}}}\)
A to średnio mi się podoba (nie wiem jak to opisać - przejście przez drugi znak równości):
\(\displaystyle{ a_{n+1}=2^{b_{n+1}}=2\sqrt{2^{b_{n}}}=2\cdot2^{\frac{1}{2}b_{n}}=2^{\frac{1}{2}b_{n}+1}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Rozwiązanie szczególne ciągu rekurencyjnego
Nie wiem, co Ci się w tym nie podoba.
Korzystasz z faktu, że funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc w tej równości wykładniki musza być sobie równe i masz rekurencję na b_n.
Korzystasz z faktu, że funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc w tej równości wykładniki musza być sobie równe i masz rekurencję na b_n.