Rozwiązanie szczególne ciągu rekurencyjnego

[Harry Xin]

Stosując odpowiednie podstawienie, sprowadź poniższe równanie do postaci liniowej, a następnie znajdź jego rozwiązanie szczególne:

\(\displaystyle{ a_{1}=2, \ a_{n+1}^{2}=4a_{n}}\)

[Rogal]

Po "ręcznej" analizie (czyli próbie rozwiązania na pałę ;p) wygląda na to, że sugerowanym podstawieniem będzie coś takiego: \(\displaystyle{ a_{n} = 2^{b_{n}}}\), czyli po prostu trzeba patrzeć na ciąg wykładników dwójki, bo podstawę mamy tę samą. Wtedy na b_n dostajemy liniową rekurencję.

[Harry Xin]

Jesteś pewien?
Bo jeżeli tak jest to nie mogę sobie poradzić z mnożącymi się przypadkami...

\(\displaystyle{ a_{1}=2\Rightarrow a_{2}=\pm2^{\frac{3}{2}}
\\ 1^{o} a_{2}=2^{\frac{3}{2}}\Rightarrow a_{3}=\pm2^{\frac{7}{4}}
\\ \ \ \cdot \ a_{3}=\pm2^{\frac{7}{4}}\Rightarrow a_{4}=2^{\frac{15}{8}}\vee a_{4}=2^{\frac{15}{8}}i
\\ 2^{o} a_{2}=-2^{\frac{3}{2}}\Rightarrow a_{3}=\pm2^{\frac{7}{4}}i
\\ \ \ \cdot \ a_{3}=2^{\frac{7}{4}}i\Rightarrow a_{4}=\pm2^{\frac{15}{8}}\sqrt{i}
\\ \ \ \cdot \ a_{3}=-2^{\frac{7}{4}}i\Rightarrow a_{4}=?}\)

[frej]

Rozwiązania rzeczywiste? Jak to, to gdyby pewien wyraz byłby ujemny, to następny...

[Rogal]

Ten ciąg domyślnie ma wyrazy rzeczywiste.

[Harry Xin]

Czyli:

Niech: \(\displaystyle{ a_{n}=2^{b_{n}}}\)

A to średnio mi się podoba (nie wiem jak to opisać - przejście przez drugi znak równości):

\(\displaystyle{ a_{n+1}=2^{b_{n+1}}=2\sqrt{2^{b_{n}}}=2\cdot2^{\frac{1}{2}b_{n}}=2^{\frac{1}{2}b_{n}+1}}\)

[Rogal]

Nie wiem, co Ci się w tym nie podoba.
Korzystasz z faktu, że funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc w tej równości wykładniki musza być sobie równe i masz rekurencję na b_n.