Uprość wyrażenie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}1^{2}+\sum_{k=0}^{n-1}\left(1+k\right)^{2}+\sum_{k=0}^{n-2}\left(1+2k\right)^{2}+...+\sum_{k=0}^{n-i}\left(1+ik\right)^{2}
\\ \\ i+k=n}\)
Ciekawa suma sum
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Ciekawa suma sum
Zapiszmy tę sumę tak:
\(\displaystyle{ (n+1)+ \sum_{i=1}^{i}( \sum_{k=0}^{n-i}(1+ik)^{2} )}\)
a teraz zajmijmy się podsumą:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-i}(1+ik)^{2}=\sum_{k=0}^{n-i}1+\sum_{k=0}^{n-i}2ki+\sum_{k=0}^{n-i}i^{2}k^{2}=n-i+1+2i\sum_{k=0}^{n-i}k+i^{2}\sum_{k=0}^{n-i}k^{2}=
n-i+1+2i\sum_{k=1}^{n-i}k+i^{2}\sum_{k=1}^{n-i}k^{2}}\)
po skorzystaniu
\(\displaystyle{ 1+2+3+...+(n-i)=\frac{(1+n-i)(n-i)}{2}}\)
\(\displaystyle{ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+(n-i)^{2}=\frac{(n-i)(n-i+1)(2n-2i+1)}{2}}\)
wymnożeniu i skróceniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ -2i^{5}+(6n+3)i^{4}-(6n^{2}+6n)i^{3}+(2n^{3}+3n^{2}-n+1)i^{2}+(n^{2}+n-1)i+n+1}\)
po zapodaniu pod sumę i rozłożeniu jej na składniki mamy:
\(\displaystyle{ (n+1) -2 \sum_{i=1}^{i} i^{5}+(6n+3)\sum_{i=1}^{i}i^{4}-(6n^{2}+6n)\sum_{i=1}^{i}i^{3}+(2n^{3}+3n^{2}-n+1)\sum_{i=1}^{i}i^{2}+(n^{2}+n-1)\sum_{i=1}^{i}i+\sum_{i=1}^{i}(n+1)}\)
na sumę trzecich czwartych i piątych potęg mamy wzory:
\(\displaystyle{ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+i^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}}\)
\(\displaystyle{ 1^{4}+2^{4}+3^{4}+...+i^{4}=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}\)
\(\displaystyle{ 1^{5}+2^{5}+3^{5}+...+i^{5}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}\)
Stosując te wzory możemy zapisać wyrażenie bez znaku sumy ale czy przez to będzie prostsze to pytanie raczej otwarte
nie wykluczam pomyłek ...-- 20 marca 2009, 01:30 --Sorki w ostatnich wzorach zamiast n po prawej stronie = powinno być i ale to formalność
\(\displaystyle{ (n+1)+ \sum_{i=1}^{i}( \sum_{k=0}^{n-i}(1+ik)^{2} )}\)
a teraz zajmijmy się podsumą:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-i}(1+ik)^{2}=\sum_{k=0}^{n-i}1+\sum_{k=0}^{n-i}2ki+\sum_{k=0}^{n-i}i^{2}k^{2}=n-i+1+2i\sum_{k=0}^{n-i}k+i^{2}\sum_{k=0}^{n-i}k^{2}=
n-i+1+2i\sum_{k=1}^{n-i}k+i^{2}\sum_{k=1}^{n-i}k^{2}}\)
po skorzystaniu
\(\displaystyle{ 1+2+3+...+(n-i)=\frac{(1+n-i)(n-i)}{2}}\)
\(\displaystyle{ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+(n-i)^{2}=\frac{(n-i)(n-i+1)(2n-2i+1)}{2}}\)
wymnożeniu i skróceniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ -2i^{5}+(6n+3)i^{4}-(6n^{2}+6n)i^{3}+(2n^{3}+3n^{2}-n+1)i^{2}+(n^{2}+n-1)i+n+1}\)
po zapodaniu pod sumę i rozłożeniu jej na składniki mamy:
\(\displaystyle{ (n+1) -2 \sum_{i=1}^{i} i^{5}+(6n+3)\sum_{i=1}^{i}i^{4}-(6n^{2}+6n)\sum_{i=1}^{i}i^{3}+(2n^{3}+3n^{2}-n+1)\sum_{i=1}^{i}i^{2}+(n^{2}+n-1)\sum_{i=1}^{i}i+\sum_{i=1}^{i}(n+1)}\)
na sumę trzecich czwartych i piątych potęg mamy wzory:
\(\displaystyle{ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+i^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}}\)
\(\displaystyle{ 1^{4}+2^{4}+3^{4}+...+i^{4}=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}\)
\(\displaystyle{ 1^{5}+2^{5}+3^{5}+...+i^{5}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}\)
Stosując te wzory możemy zapisać wyrażenie bez znaku sumy ale czy przez to będzie prostsze to pytanie raczej otwarte
nie wykluczam pomyłek ...-- 20 marca 2009, 01:30 --Sorki w ostatnich wzorach zamiast n po prawej stronie = powinno być i ale to formalność