Symbol Newtona-przekształcenie.

[bekii]

Witam, bardzo proszę o pomoc lub wskazówki w rozwiązaniu tego przykładu:

\(\displaystyle{ {n+1 \choose k+1}}\)

Rozwiązałam kawałek (nie wiem czy dobrze;P) i dalej nie potrafię ;( Obliczałam w taki sposób:
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)!}{(k+1)![(n+1)!-(k+1)!]}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n+1-k-1)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}}\)

[Kasiaczek]

Ten kawałek, który rozwiązałeś jest dobrze:)

-- 14 mar 2009, o 22:10 --

Ale nie możesz zapominać o założeniach:
\(\displaystyle{ n+1>k+1}\)
\(\displaystyle{ n>k}\)

[bekii]

A czy mogłabyś mi pomóc w dalszym rozwiązaniu bo nie mam pojęia jak mam się do tego zabrać

[Kasiaczek]

Nie wiem, czy to coś da, ale \(\displaystyle{ n+1=k+1+(n-k)}\)
\(\displaystyle{ n+1=k+1+n-k}\)
a więc \(\displaystyle{ L=P}\)

-- 14 mar 2009, o 22:18 --

wtedy moglibyśmy to zapisać chyba w ten sposób: \(\displaystyle{ (k+1)!\cdot \frac{(n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k)}=\frac{(n-k)}{(n-k)!}}\) ale niewiele nam to daje:(

-- 14 mar 2009, o 22:39 --

Wyszło Ci coś?

[bekii]

Próbowałam obliczać jak mówisz,ale nic mi nie wyszło ;((

A Całe zadanie ogólnie brzmi tak:

Udowodnij,że:

\(\displaystyle{ {n\choose k}}\)+ \(\displaystyle{ {n\choose k+1}}\) =\(\displaystyle{ {n+1\choose k+1}}\)

Założenia:\(\displaystyle{ n,k \in N}\)
\(\displaystyle{ n\ge k+1}\)

Jeśli wiesz jak to obliczyć, to baaaardzo proszę o pomoc!

[Harry Xin]

\(\displaystyle{ 1^{o}}\) To wynika z trójkąta Pascala.

[Kasiaczek]

A co to jest ten trójkąt Pascala?;p

[bekii]

O trójkącie pascala co nieco słyszałam:p

Ale czy można to jakoś udowodnić obliczając?
Dostałam takie zadanie z matematyki. Muszę to udowodnić obliczeniami ;/

[Kasiaczek]

Wiesz, co na pewno można to obliczyć w ten sposób, jak to robiliśmy na początku:), ale ja w pewnym momencie obliczeń staję i nie wiem, co dalej;p

[bekii]

No właśnie ja też ;/
W pewnym momencie wychodzi mi (-k)! ,czy to możliwe w ogóle

[Harry Xin]

Można to udowadniać na kilka sposobów (nawet będąc na studiach). Na wykładzie z matematyki dyskretnej prowadzący wytłumaczył nam to tak:

\(\displaystyle{ 2^{o}}\) Na ile sposobów można wybrać k+1 - osobową komisję spośród nauczyciela i n uczniów?

I Z uczniów i nauczyciela wybieramy k+1 - osobową komisję: \(\displaystyle{ {n+1\choose k+1}}\)

II Komisja bez nauczyciela: \(\displaystyle{ {n\choose k+1}}\)
Z nauczycielem: \(\displaystyle{ {n\choose k}}\)

łącznie \(\displaystyle{ {n\choose k}+{n\choose k+1}}\).

I i II sposób są sobie równoważne i dają oczekiwaną równość.

A odnośnie trójkąta Pascala można się indukcyjnie pobawić.

Silnię obliczamy tylko dla liczb naturalnych.

[Kasiaczek]

Właśnie nie. Nie jest możliwa silnie z liczby ujemnej:(-- 15 mar 2009, o 18:06 --Haha, a ja indukcji matematycznej w szkole też nie miałam;p

[bekii]

Dzięki bardzo za wytłumaczenie ,ale czy można to udowodnić OBLICZENIAMI? Bo takie mam zadanie.
Na ostatniej lekcji miałam silnie i symbol newtona i mam je zastosować udowadniając to.

[Harry Xin]

\(\displaystyle{ {n\choose k}+{n\choose k+1}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}+\frac{n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!}=\frac{n!\left(k+1\right)+n!\left(n-k\right)}{\left(k+1\right)!\left(n-k\right)!}=
\\ =\frac{n!\left(k+1+n-k\right)}{\left(k+1\right)!\left(n-k\right)!}=\frac{n!\left(n+1\right)}{\left(k+1\right)!\left(n-k\right)!}=\frac{\left(n+1\right)!}{\left(k+1\right)!\left(\left(n+1\right)-\left(k+1\right)\right)!}=
\\ ={n+1\choose k+1}}\)

\(\displaystyle{ \LaTeX}\) rządzi!

@edit: Literówka.

[bekii]

Dzięęęęęęęki! jesteś wielki!

Proszę, wytłumacz mi jeszcze jak skróciłeś to : \(\displaystyle{ \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-(k+1))!}}\) do \(\displaystyle{ {n+1 \choose k+1}}\)