odcinek .... który ma tworzyć trójkat ;)
-
babrysia
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 15 lis 2008, o 11:48
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: gdańsk
- Podziękował: 4 razy
odcinek .... który ma tworzyć trójkat ;)
Mamy odcinek długości 1 j. Na ten odcinek losowo nakładamy 2 punkty.Oblicz prawdopodobieństwo, że z odcinków( miedzy początkiem odcinka a pierwszym punktem (a), między pierwszym punktem a drugim (b) i miedzy drugim punktem a końcem odcinka (c) ) będzie można zbudować trójkąt. ....
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
odcinek .... który ma tworzyć trójkat ;)
Żeby z takich odcinków dąło się zbudować trójkąt, potrzeba i wystarcza, żeby żaden z wyznaczonych w ten sposób odcinków nie miał długości większej, niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}j}\). Gdyby któryś był dłuższy, to suma pozostałych dwóch odcinków byłaby krótsza, więc warunek trójkąta nie byłby spełniony i odwrotnie: jeśli żaden z boków nie jest dłuższy niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}j}\), to w szczególności najdłuższy bok nie jest dłuższy niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}j}\), czyli suma pozostałych dwóch boków jest na pewno dłuższa od \(\displaystyle{ \frac{1}{2}j}\), czyli jest też dłuższa od najdłuższego boku - warunek trójkąta jest spełniony.
Podzielmy odcinek na dwie połowy. Żeby żaden ze skrajnych odcinków (tzn. tych, które mają końce w końcu danego odcinka) nie był dłuższy niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}j}\), to wylosowane punkty nie mogą leżeć w tej samej połówce odcinka.
Załóżmy, że wylosowaliśmy już dwa punkty w różnych połówkach. Aby teraz odcinek środkowy nie był dłuższy niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}j}\), to żaden z punktów nie może leżeć dalej, niż w odległości \(\displaystyle{ \frac{1}{4}j}\) od środka odcinka.
Podzielmy odcinek na ćwiartki i ponumerujmy je po kolei liczbami 1,2,3,4. Ostatecznie, żeby z odcinków dało się zbudować trójkąt, dokładnie jeden z wylosowanych punktów musi leżeć w drugiej ćwiartce i dokładnie jeden z wylosowanych punktów musi leżeć w trzeciej ćwiartce.
"Celując" pierwszym punktem, mogę trafić w 4 ćwiartki i 2 ćwiartki sprzyjają zdarzeniu, a "celując" drugim punktem, mogę trafić w 4 ćwiartki, ale już tylko jedna sprzyja zdarzeniu. Stąd szukane prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{8}}\).
Podzielmy odcinek na dwie połowy. Żeby żaden ze skrajnych odcinków (tzn. tych, które mają końce w końcu danego odcinka) nie był dłuższy niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}j}\), to wylosowane punkty nie mogą leżeć w tej samej połówce odcinka.
Załóżmy, że wylosowaliśmy już dwa punkty w różnych połówkach. Aby teraz odcinek środkowy nie był dłuższy niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}j}\), to żaden z punktów nie może leżeć dalej, niż w odległości \(\displaystyle{ \frac{1}{4}j}\) od środka odcinka.
Podzielmy odcinek na ćwiartki i ponumerujmy je po kolei liczbami 1,2,3,4. Ostatecznie, żeby z odcinków dało się zbudować trójkąt, dokładnie jeden z wylosowanych punktów musi leżeć w drugiej ćwiartce i dokładnie jeden z wylosowanych punktów musi leżeć w trzeciej ćwiartce.
"Celując" pierwszym punktem, mogę trafić w 4 ćwiartki i 2 ćwiartki sprzyjają zdarzeniu, a "celując" drugim punktem, mogę trafić w 4 ćwiartki, ale już tylko jedna sprzyja zdarzeniu. Stąd szukane prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{8}}\).