Ułożenie słowa, oblicz wartość wyrażenia

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
marcink13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 22 lut 2009, o 10:57
Płeć: Mężczyzna

Ułożenie słowa, oblicz wartość wyrażenia

Post autor: marcink13 »

ZADANIE
Na ile różnych sposobów można wybrać parę: samogłoski 2 wyrazów
a) SZKOŁA
b) DZIECKO
c) UCZEŃ
d) NAUCZYCIEL

O co tu w ogóle chodzi?
czy ktoś wie?



Oblicz

a)\(\displaystyle{ \frac{120!*121!}{122!}}\)

b)\(\displaystyle{ \frac{10!}{(4!) ^{2} }}\)

c)\(\displaystyle{ \binom{m}{2}=10}\)
Ostatnio zmieniony 2 mar 2009, o 21:57 przez Sylwek, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nazwy tematów powinny być bardziej przemyślane.
tiraeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 13 paź 2008, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 14 razy

Ułożenie słowa, oblicz wartość wyrażenia

Post autor: tiraeth »

Jak to o co chodzi?
Wybieramy dwa wyrazy. Możliwości jest: \(\displaystyle{ {4 \choose 2} = \frac{4!}{4} = 6}\). Oznaczmy każdy wyraz liczbą porządkową. Możliwe wybory: {1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4} - nie interesuje nas kolejność wyboru. Teraz w każdym z tych ustawień sprawdzamy ile jest samogłosek w każdym wyrazie tej pary. Mnożymy ilość samogłosek pierwszego wyrazu z drugim w danej parze, potem sumy par dodajemy do siebie. To, co nam wyjdzie ostatecznie, to ilość możliwości.

Kolejna cześć to... czysta arytmetyka!
2a) \(\displaystyle{ \frac{121! \cdot 120!}{122!} = \frac{121!\cdot120!}{121!\cdot122} = \frac{120!}{122} =}\)

\(\displaystyle{ = \frac{120\cdot119\cdot ... \cdot 62 \cdot 61 \cdot 60 \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{61\cdot2} = 120 \cdot 119 \cdot 118 \cdot ... \cdot 62 \cdot 60 \cdot ... \cdot 3 \cdot 1}\)


2b) \(\displaystyle{ \frac{10!}{4!\cdot4!} = \frac{4!\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10}{4!\cdot4!} = \frac{30\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10}{2\cdot3\cdot4} = 15\cdot7\cdot2\cdot3\cdot10 = 45\cdot140 = 6300}\)


2c) \(\displaystyle{ {m \choose 2} = 10}\)
\(\displaystyle{ \frac{m!}{2!(m-2)!} = 10 \\
\frac{(m-2)!(m-1)m}{2(m-2)!} = 10 \\
m^2-m=20 \\
m^2-m-20 = 0 \\
\Delta = 1+80=81 \\
\sqrt{\Delta} = 9 \\
m_1=\frac{1-9}{2} = -4 \\
m_2=\frac{1+9}{2} = 5}\)


Ale symbol Newtona przyjmuje tylko argumenty całkowite nieujemne, zatem zostaje nam \(\displaystyle{ m=5}\).
marcink13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 22 lut 2009, o 10:57
Płeć: Mężczyzna

Ułożenie słowa, oblicz wartość wyrażenia

Post autor: marcink13 »

dzięki za pomoc tylko mam problem z tym pierwszym zadaniem tak naprawdę nic nie rozumiem. Nie mam nadal zielonego pojęcia jak to wyliczyć. ??????????????????????????????????-- 3 mar 2009, o 20:41 --Zad 3
Na ile różnych sposobów 4 osoby mogą wsiąść do tramwaju składającego się z:
a) dwóch ponumerowanych wagonów
b) trzech ponumerowanych wagonów
tiraeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 13 paź 2008, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 14 razy

Ułożenie słowa, oblicz wartość wyrażenia

Post autor: tiraeth »

Zad. 3. Zadanie polega na rozmieszczeniu n elementów w k pudełkach. Ponieważ dopuszczamy możliwość, by którykolwiek z wagonów był pusty, skorzystamy ze wzoru:

\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\)

Odpowiada to możliwościom ustawienia jedynek w takim ciągu binarnym:

a) \(\displaystyle{ 00100}\) ---- \(\displaystyle{ {5 \choose 1} = 5}\)

b) \(\displaystyle{ 001010}\) ---- \(\displaystyle{ {6 \choose 2} = \frac{6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot2} = 15}\)
marcink13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 22 lut 2009, o 10:57
Płeć: Mężczyzna

Ułożenie słowa, oblicz wartość wyrażenia

Post autor: marcink13 »

Dzięki. A czy mógłbyś wytłumaczyć to pierwsze zadanie. Próbuje ale nic mi nie przychodzi do głowy jak to rozwiązać. pozdr
tiraeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 13 paź 2008, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 14 razy

Ułożenie słowa, oblicz wartość wyrażenia

Post autor: tiraeth »

Masz wybrać parę samogłosek z dwóch wyrazów (obojętnie jak wybranych). Żeby móc znaleźć te samogłoski, musisz najpierw określić, jakie są pary, gdyż w każdej parze masz inną liczbę samogłosek, z pośród których możesz wybrać te dwie.

Zatem mając słowa:
1 - SZKOŁA
2 - DZIECKO
3 - UCZEŃ
4 - NAUCZYCIEL

Możesz wybrać takie pary: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}. Mówimy tutaj o parach a nie o ciągach, zatem {1,2} oraz {2,1} to jedno i to samo. Teraz, mając pary, szukamy możliwych wyborów pary z samogłosek tych dwóch słów. Ponieważ w zadaniu nie jest powiedziane, zakładamy zatem, że nie rozróżniamy samogłosek z różnych słów, zatem musimy zrobić taki myk, żeby wybrać 2 elementy z k, gdzie niektóre się powtarzają. Potem wszystkie możliwe pary (z wyborami) sumujemy, otrzymując wynik.

Weźmy przykład z parą {1,2}. Samogłoski to: O, A, I, E, O (mamy dwa O - jedno ze słowa 1. i drugie z 2.). Zatem mamy 4 typy (O,A,I,E) i wybieramy dwie literki. Zatem:

{O,A}, {O,I}, {O,E}, {A,I}, {A,E}, {I,E}

Zatem już wiemy, że wybierając parę {szkoła,dziecko} możemy wybrać parę samogłosek na 6 sposobów. Jeśli oznaczymy to jako \(\displaystyle{ A_{1,2}}\), to sumarycznie ilość możliwości w tym zadaniu to:

\(\displaystyle{ |A| = A_{1,2}+A_{1,3}+A_{1,4}+A_{2,3}+A_{2,4}+A_{3,4}}\)
ODPOWIEDZ